12.3 互逆命题公开课参赛课教案

12.3互逆命题(2)

一.设计思路

这节课创设了一个根据条件观察图形，做出猜想，证明猜想的活动情境，设计这个活动，使学生既经历合情推理，又经历演绎推理，不断发展初步演绎推理能力，从而使《标准》中“经历观察，实验猜想，证明”等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自已的观点”这些过程性目标得到落实，再通过例题让学生知道可用不同的方式和方法证明同一个命题. 二.目标设计

1. 能使用合情推理和演绎推理证明一个命题；

2. 知道可以用不同的方式与方法证明同一个命题；

3. 探索关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题. 三.活动设计

活动内容

情境

：

如图1, AB∥CD，AB与DE相交于点G，

∠B=∠D. 问题1：你由这些条件得到什么结论？

A如何证明这些结论？

CEGDBF师生互动思考与安排

说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论.

图1 在下列括号内填写推理的依据.

因为AB∥CD(已知) 所以∠EGA=∠D(

) 又因为∠B=∠D(已知) 所以∠EGA=∠B(

) 所以DE∥BF(

) 上面的推理过程用符号“”怎样表达：

分析:AB∥CDBF 问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？

问题3：在图(1)中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论. 问题4：在图(1)中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你的结论. 说明：1、问题3、4构造了课本中讨论的关于图(1)的一个GEADEGABDE∥BD

命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的的互逆命题进行推理中，引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的“位置关系”和“大小关系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感受数学的严谨. 2、课本提供的情景是让学生经历“观察--实验--猜想—证明”等活动，由合情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，从而不断发展初步的演绎推理的能力. 3、实际中我们可以把图形演变为图2，再来让学生猜想，并能得出什么结论，并证明结论的正确性.从中让学生从中判断“如果任意角的两边分别互相平行，那么这两个角相等”这个命题正确与否.

G

图2 四.例题设计

例1

证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这d两条直线也互相平行. 1a分析：已知：如图(2)直线a、b、c，

2bb∥a，c∥a，求证：b∥c. 证明：作直线a、b、c的截线d 因为b∥a(已知) 所以

∠2=∠1(

) 因为c∥a (已知) 所以∠3=∠1(

) 所以∠2=∠3(等量代换) 所以b∥c(

) 用符号“”简明表述上述的推理过程如下：

b∥a∠2=∠1

∠2=∠3b∥c c∥a∠3=∠1 3cDCAEFB

你还有其他的方法证明b∥c吗？

说明：这个例题可以让学生自己去探索，因为学生已有了这个结论，并且也有学生在解题时用过这个结论，如同三角形的内角和一样，此题的证明有多种方法，可让学生自己先说证明思路，教师切不可自己先讲，要让学生有自己的思考过程，也不可只讲一种访求了事，让学生体会多种方法. 例2 证明：直角三角形的两个锐角互余．

已知：如图，在△ABC 中，∠＝90°，

证明：在△ABC 中，

∠A＋∠B＋∠C ＝180°

（三角形三个内角的和等于180°），

∴∠A ＋∠B ＝

180°－

∠C（等式性质)，

∵

∠C ＝

90°(已知)，

∴∠A ＋∠B ＝

180°－

90°（等量代换)，

∴

∠A ＋∠B ＝

90°．

A

C

说明：这个几何计算题中没有知道任何一个角的度数，可是最后是让学生来求一个角的度数，同样也要让学生去体会，尝试用各种方法来解决，也要让学生有自己的思维过程，让学生体会数形结合，本例若想不到方程思想，或是找不到方程的依据，则问题就得不到顺利解放，究其原因，是对用代数方法解几何题较陌生，要加强训练加深印象. 说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的

逆命题．这个命题是真命题吗？为什么？

B

五.拓展练习

构造一个命题的逆命题，并证明这个命题是真命题，我们就能探索并获得一些新的数学结论．

这是一种逆向思考研究问题的方法．

2、（1）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：CD⊥AB．

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？

小结：

通过今天的学习，你有哪些收获与体会，说出来和同学们分享．

课后作业

1．课本P161习题12.3第3、4题；

2．思考题（选做）

（1）已知：如图，在△ABC 中，点E 在AC上，

点F 在BC上，点D、G 在AB上，FG∥CD，

∠EDC ＝∠BFG ．

求证：∠AED ＝∠ACB．

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？

A D B C

A

D

G

B

F

C

E