1.4.1 全称量词教学实录及点评

《全称量词与存在量词》教学设计

教学内容：人教A版选修2-11.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

学习目标：

1、理解全称量词与存在量词的含义. 2、理解并掌握全称命题和特称命题的概念. 3、能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法. 学习重点与难点

1、重点：正确判断全程命题与特称命题

2、难点：全称命题与特称命题的相互转换

一、问题导学 知识点一

：全称量词、全称命题

思考

：观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5. (1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个). 答案 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分. (2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等. 知识梳理 (1)概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题. (2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. (3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可. 知识点二

：存在量词、特称命题

思考：

观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>5；

Q：存在一个m0∈Z，m0>5. (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个) 答案 (1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分. (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. 知识梳理 (1)概念

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题. (2)表示

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”. (3)特称命题真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题. 二、题型探究 类型一

：全称命题与特称命题的判断

命题角度

1 全称命题与特称命题的不同表述

例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：

(1)全称命题：∀x∈N，p(x)；

(2)特称命题：∃x0∈N，p(x0). 解 (1)全称命题：

①对所有的自然数x，2x是偶数；

②对一切的自然数x，2x是偶数；

③对每一个自然数x，2x是偶数；

④任选一个自然数x，2x是偶数；

⑤凡自然数x，都有2x是偶数.

(2)特称命题：

①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；

②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；

③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；

④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；

⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数. 反思与感悟

全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解. 跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”) 答案

特称

解析

依据特称命题的构成易得. 命题角度2 全称命题与特称命题的识别

例2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sinα＋cosα＝1. 解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题. (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题. 反思总结：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题. (1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x＋y＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

n(4)对于数列n＋1，总存在正整数n0，使得解 (1)是全称命题，表示为∀x∈N，x≥0. |x0－y0＋1|22(2)是特称命题，表示为∃(x0，y0)∈{(x，y)|x＋y＝1}，满足2＝1. (3)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数. (4)是特称命题，∃n0∈N，|*22222与1之差的绝对值小于0.01. －1|<0.01，其中n0＝n0＋1. 类型二

全称命题与特称命题的真假的判断

例3 判断下列命题的真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

2(4)存在一个实数x0，使得等式x0＋x0＋8＝0成立；

(5)∀x∈R，x－3x＋2＝0；

2(6)∃x0∈R，x0－3x0＋2＝0. 解 (1)真命题. (2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数. (3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示. (4)假命题，方程x＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解. (5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x－3x＋2＝0才成立. 2(6)真命题，x0＝2或x0＝1，都能使等式x0－3x0＋2＝0成立. 反思与感悟

要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题. 要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题. 跟踪训练3 判断下列命题的真假：

(1)有一些奇函数的图象过原点；

2(2)∃x0∈R，2x0＋x0＋1<0；

(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤. 解 (1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题. (2)该命题是特称命题. 21277∵2x0＋x0＋1＝2(x0＋4)＋8≥8>0，

2∴不存在x0∈R，使2x0＋x0＋1<0. 故该命题是假命题. (3)该命题是全称命题. π∵sin x＋cos x＝sin(x＋4)≤恒成立，

222

∴对任意实数x，sin x＋cos x≤都成立，故该命题是真命题. 类型三

利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例4 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围. (1)命题p(x)：x＋1>x；

(2)命题p(x)：x－5x＋6>0；

(3)命题p(x)：sin x>cos x. 解 (1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R. (2)∵x－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，

∴x>3或x<2. π5π(3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋4

已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制. 跟踪训练4 若方程x＋ax＋1＝0，x＋2ax＋2＝0，x－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围. 解

由方程x＋ax＋1＝0无实根，可知a－4<0，即a<4，即－2

由方程x＋2ax＋2＝0无实根，可知a－2<0，即a<2，即－

由方程x－ax＋4＝0无实根，可知a－16<0，即a<16，即－4

∴当a<2，即－

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

答案 D 解析 D选项是特称命题. 2.命题p：∃x∈N，x

32222222222222222

C.p假q假 D.p真q真

答案 A 解析

∵xf(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( ) A.a≥0 B.a<0 C.b≤0 D.b>1 答案 B 解析

函数f(x)＝|2－1|的图象如图所示：

xx322 由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B. 4.特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题. 25.若命题“∃x0∈R，x0＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________. 答案 [2，6] 解析

由已知得“∀x∈R，x＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m－4×1×(2m－3)＝m－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2，6]. 四、规律与方法 1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词. 2判定全称命题的真假的方法.定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假. 222