习题3.2ppt配套的教学设计及说课稿

第4讲

直线、平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

判平面外一条直线与这个平面内的一定条直线平行，则该直线与此平面平定行(线线平行⇒线面平行)

理

性一条直线与一个平面平行，则过这质条直线的任一平面与此平面的交线定与该直线平行(简记为“线面平行

理

⇒线线平行”)

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平判定定理

行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒

面面平行”)

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言

∵l∥a，a⊂α

l⊄α，∴l∥α

∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b

符号语言

∵a∥β，b∥β，

a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β

∵α∥β，

α∩γ＝a β∩γ＝b，

∴a∥b

[做一做] 1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：

α∥cα∥γ⇒α∥β

②⇒α∥β

①β∥cβ∥γα∥ca∥γ⇒a∥α

④⇒a∥α

③a∥cα∥γ其中正确的命题是(

) A．①②③

B．①④

C．②

D．①③④

解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．

1．辨明两个易误点

(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．

(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．

2．判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

(1)利用线面平行的判定定理；

(2)利用面面平行的性质定理，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．

[做一做]

2．对于直线m，n和平面α，若n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：D 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案：平行

考点一__线面平行的判定及性质(高频考点)_______

平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．

高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：

(1)判断线面的位置关系；

(2)线面平行的证明；

(3)线面平行性质的应用．

1

如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，DC＝AB，若2PM＝MB，求证：CM∥平面PAD.

[证明]

法一：取AP的中点F，连接FM，DF，

1则FM∥AB，FM＝AB.

21∵CD∥AB，CD＝AB，

2∴FM∥CD，FM＝CD.

∴四边形CDFM为平行四边形．

∴CM∥DF.

∵DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，

∴CM∥平面PAD. 法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q，连接PQ，AC.

∵CD∥AB，

∴∠QCD＝∠QBA.

∵∠CQD＝∠BQA，

∴△CQD∽△BQA.

QCCD1∴＝＝.

QBAB2∴C为BQ的中点．

∵M为BP的中点，

∴CM∥PQ.

∵PQ⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，

∴CM∥平面PAD.

[规律方法]

(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行．

(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．

1. (1)(2015·秦皇岛模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.

求证：AP∥GH. (2)(2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.

①求证：AB1∥平面BC1D；

②若BC＝3，求三棱锥D-BC1C的体积．

解：(1)证明：连接AC交BD于点O，连接MO，

∵PM＝MC，AO＝OC，

∴PA∥MO，

∵PA⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，

∴PA∥平面MBD.

∵平面PAG∩平面MBD＝GH，

∴AP∥GH.

(2)①证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD.

∵四边形BCC1B1是平行四边形．

∴点O为B1C的中点．

∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.

∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D.

②在三棱柱ABC-A1B1C1中，

侧棱CC1∥AA1.

又∵AA1⊥平面ABC，

∴侧棱CC1⊥平面ABC，

故CC1为三棱锥C1­BCD的高，A1A＝CC1＝2，

1113∵S△BCD＝S△ABC＝(BC·AB)＝，

22221∴VD­BCC1＝VC1­BCD＝CC1·S△BCD

3

13＝×2×＝1.

32考点二__面面平行的判定与性质______________

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG. [证明]

(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.

∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.

在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM∥平面A1ACC1?

解：存在．当M为BC1的中点时成立．

证明如下：连接EM(图略)，在△ABC1中，

E，M分别为AB，BC1的中点，

1∴EM綊AC1，又EM⊄平面A1ACC1，

2AC1⊂平面A1ACC1，∴EM∥平面A1ACC1.

[规律方法]

判定面面平行的方法：

(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)；

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．

2.(2013·高考陕西卷) 如图，

四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.

(1)证明：底面A1BD∥平面CD1B1；

(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

解：(1)证明：由题设知，BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.

又BD⊄平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.

∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥D1C.

又A1B⊄平面CD1B1，

∴A1B∥平面CD1B1.

又BD∩A1B＝B，

∴平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)∵A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．

12又AO＝AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA＝1.

21又S△ABD＝×2×2＝1，

2∴V三棱柱ABD-A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.

考点三__平行关系的综合应用________________

(2015·河南洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

(1)求证：BE∥平面DMF；

(2)求证：平面BDE∥平面MNG. [证明]

(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，

又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.

[规律方法]

在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．

3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

(1)直线EG∥平面BDD1B1；

(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明：(1)如图，连接SB，

∵E、G分别是BC、SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，

EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG∥平面BDD1B1.

(2)连接SD，

∵F、G分别是DC、SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

方法思想——转化与化归思想解决平行关系中的探索性问题

如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．

[解]

(1)证明：因为D，E分别是AP，AC的中点，

所以DE∥PC.

又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.

(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.

所以四边形DEFG为平行四边形．

又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.

所以四边形DEFG为矩形．

(3)存在点Q满足条件，理由如下：

连接DF，EG，设Q为EG的中点，

1由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.

2分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.

1与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝2EG，

所以Q为满足条件的点．

[名师点评]

(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．

(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．

如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解：点E为AB的中点时DE∥平面AB1C1，证明如下：

法一：取AB1的中点F，连接DE、EF、FC1，

∵E、F分别为AB、AB1的中点，

1∴EF∥BB1且EF＝BB1.

2在三棱柱ABC-A1B1C1中，

1DC1∥BB1且DC1＝BB1，

2

∴EF綊DC1，四边形EFC1D为平行四边形，∴ED∥FC1.

又ED⊄平面AB1C1，FC1⊂平面AB1C1，

∴ED∥平面AB1C1.

法二：取BB1的中点H，连接EH，DH，

∴E，H分别是AB，BB1的中点，

则EH∥AB1.

又EH⊄平面AB1C1，

AB1⊂平面AB1C1，

∴EH∥平面AB1C1，

又HD∥B1C1，同理可得HD∥平面AB1C1，

又EH∩HD＝H，

∴平面EHD∥平面AB1C1，

∵ED⊂平面EHD，

∴ED∥平面AB1C1.

1．(2015·惠州模拟)已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是(

) A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β

B．l⊂α，m⊂β，且l∥m

C．l⊥α，m⊥β，且l∥m

D．l∥α，m∥β，且l∥m

解析：选C.借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C.

2．(2015·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.

3．(2015·大连市双基测试)在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是(

) A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b

C．若a∥α，a∥b，则b∥α

D．若α∥β，a⊂α，则a∥β

解析：选D.对于A，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，因此选项A不正确；对于B，分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的或异面的或相交的，因此选项B不正确；对于C，直线b可能位于平面α内，此时结论不正确；对于D，直线a与平面β没有公共点，因此a∥β，选项D正确．

4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(

)

A．不存在

B．有1条

C．有2条

D．有无数条

解析：选D.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．

5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(

)

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

1解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，∴EF∥平面BCD.又H，G分别51为BC，CD的中点，∴HG綊BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．

2AMAN6. 如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面MBNDBDC的位置关系是__________．

AMAN解析：在平面ABD中，＝，

MBND∴MN∥BD.

又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴MN∥平面BCD.

答案：平行

7．(2015·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．

①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；

②若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；

③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β；

④若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行．

解析：①为假命题；②为真命题；在③中，n可以平行于β，也可以在β内，故是假命题；在④中，m，n也可能异面，故为假命题．

答案：②

8．(2015·湖南长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点Pa是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，3则PQ＝________．

解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.

又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，

设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，

∴△APM∽△DPQ.

PQPD∴＝＝2，即PQ＝2PM.

PMAP又知△APM∽△ADB，

PMAP1＝＝，

BDAD3122∴PM＝BD，又BD＝2a，∴PQ＝a.

3322答案：a

39. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.

∴证明：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，

EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，

所以EH∥平面BCC1B1.

又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，

所以EH∥FG，即FG∥A1D1.

又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，

所以FG∥平面ADD1A1.

10. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底1面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点．

2

(1)求证：AM＝CM；

(2)若N是PC的中点，求证：DN∥平面AMC. 1证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝AB＝1，

2∴AC＝2，BC＝2，∴BC⊥AC.

又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.

1在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝PB，

21在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝PB，

2∴AM＝CM.

(2)连接DB交AC于点F，

11∵DC綊AB，∴DF＝FB.

22取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM.

又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，

∴DG∥平面AMC.

连接GN，则GN∥MC，

∴GN∥平面AMC.

又GN∩DG＝G，

∴平面DNG∥平面AMC.

∵DN⊂平面DNG，

∴DN∥平面AMC.