3.2.1 几个常用函数的导数第一课时教学设计

3.2.1几个常用函数导数

泾源高级中学

陶

玮

教学目标：1、能根据定义求几个简单的函数的导数，加深对导数概念的理解。

2、能对得到的导数公式进行简单的应用。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用

教学过程：

【复习回顾】

1、导数的概念

f'(x)limx0yxlimx0f(xx)f(x)

x2、导数的几何意义

切线的斜率

3、导数的物理意义

瞬时速度

4、求函数的导数的方法是：（三步法）

步骤：

(1)求增量yf(xx)f(x);

yf(xx)f(x)(2)算比值;

xx

(3)求y

【合作探究】

探究任务一：函数yf(x)c的导数. 问题：如何求函数yf(x)c的导数？

新知：y0表示函数yc图象上每一点处的切线斜率为

. 若yc表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

即一直处于静止状态. 试试：求函数yf(x)x的导数

反思：y1表示函数yx图象上每一点处的切线斜率为

. 若yx表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

【典型例题】

1．函数yf(x)c的导数

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0

1

函数

导数

yc

y0

若yc表示路程关于时间的函y0表示函数yc图像上每一点处的切线的斜率都为0．数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0函数

导数

yx

y1

y1表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0函数

导数

yx2

y2x

y2x表示函数yx2图像上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx222增加得越来越快．若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

2

4．函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)1

2x(xx)xxxx所以ylimy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

导数

y5．函数y1

xy1x2[来源学科网]

x的导数

6．推广：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1

【反思总结】

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

，

，

. 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 【当堂检测】

1.f(x)0的导数是（

）

A．0

B．1

C．不存在

D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（

）

A．0

B．2x

C．6

D．9

3

的点为（

）

41111A．(0,0)

B．(2,4)

C．(,)

D．(,)

4162414. 过曲线y上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

x5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为

，在t4时的速度3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为为

. 【板书设计】

1．函数yf(x)c的导数

2．函数yf(x)x的导数

【课后作业】P82 探讨

3．函数yf(x)x2的导数

4．函数yf(x)1x的导数

4 5．函数yx的导数

6．推广：