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《立体几何的角的概念》

【考情分析】

空间中的角是高考必考内容，考察识图能力、空间想象能力和对基本图形的认识,突出垂直位置关系的研究;重点考察直线与平面所成角,平面与平面所成角的求法，综合性较强。

【复习目标】帮助学生(形成)精制图式记忆、理解角的概念的;训练学生提取图式。

目标1:帮助学生理解直线与平面所成的角，理解垂直的一个图式（一条线如果垂直三角形的两条边，则必垂直于第三边；）

目标2:帮助学生理解二面角的概念，（形成）理解二面角的两个图式（鳖臑、筝型）

目标3:能够在具体的场景中顺利提取图式，即找出结构简单的直线与平面所成的角，二面角的平面角，并求能出角的大小。

【教学过程】

一、告知目标

通过平台展示教学目标并做简单解释. 二、知识梳理

角的类别

异面直线所成的角

图形

概念

直线与平面所成的角

二面角的平面角

_______________________叫做斜线和平面所成的角,▲斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中__________

(1)

二面角的定义：_______________ 叫做二面角,________叫做二面角的棱，_____________叫做二面角的面。

(2)二面角的平面角：在二面角的棱l上任取一点O，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线OA,OB,则 ___________是二面角的平面角.

角取值

范围

求

角

的

方

法

几何法

(如何找角)

平移一线来构造可解三角形

确定直线在平面的射影，解直角三角形

确定二面角的平面角（三种常见确定方法），解三角形。

【设计意图】:引导学生对本单元重要概念（线线角、线面角、面面角）、重点问题（空间角的计算）的解决方法进行回顾梳理。

三、问题自查

【设计意图】:检查学生是否理解三种角的概念，能否由角的概念找出角并准确计算出所求角的大小。

1、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。

A1

D1 0（1）异面直线BA1和AC所成的角为______；（60）

B1

C1 2E （2）异面直线BE和B1C所成的角余弦值为______

A

D 2（3）直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值_______。（）

3B

C 2、在棱长为1的正方体ABCDA找出下面的二面角的平面角。

1BC11D1中，（1）二面角C1-AB-C的大小；（45） （鳖臑）

（2）二面角C1BDC的正切值;（2）（筝型）

（3）二面角AB1D1C的余弦值.

（061）（筝型）

3

活动1【归纳小结】

异面直线所成的角求解程序

第一步：确定角的顶点，一般先从两条异面直线段的四个端点中的一个或几何体其他线的中点

第二步：确定平移平面，往往以所作的角的顶点和欲平移直线所确定的平面为平移平面。（对于直棱柱，尤其是长方体、正方体内异面直线所成角的问题，可以采用补形的办法进行平移线段，这种方法既直观又便于计算）

第三步：平移直线，确定角

第四步：解三角形

四、促进知识的理解与运用

【设计意图】:通过在典例及变式，帮助学生进一步理解线面角、二面角平面角的概念，并会利用面面垂直性质找斜线在平面的射影，以及会利用两种常见的空间模型：“筝形”，“鳖臑”确定二面角平面角。落实目标1、2

【典型样例】

D1BCD的平面角，D1BD450，BDDD13

提示：D1BD为二面角取BD1的中点M,连接MC,DMBD1,易证DM平面A1BCD1,

DCM为所求直线CD与平面A1BCD1所成的角

.2018年全国1题18）

如图，1（

分别为 的中点，（变式）四边形 为正方形，以 为折痕把

折起，使点

到达点

的位置，且

. （1）证明：平面

平面 ；

（2）求 与平面 所成角的正弦值.

（变式）2.（2017年山东题17）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点. （Ⅰ）设P是CE上的一点，且APBE，求CBP的大小；

（Ⅱ）当AB3，AD2，求二面角EAGC的大小.

活动2【归纳总结】

确定直线与平面所成的角关键：找射影（平面的垂线），斜线与射影所成角θ，解三角形。

（1）线面垂直的判定（性质）定理（垂直三角形的两边的直线必定垂直第三边）

（2）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即：如果两个平面垂直，其中一个平面上的直线在另一个面的射影一定在交线上。

二面角的平面角的确定方法：

(1)根据平面角的定义找出二面角的平面角（分别在两个半平面找棱的垂线）; 空间模型：筝形

(2)根据三垂线定理或者逆定理（垂直三角形的两边的直线必定垂直第三边）

空间模型：鳖臑

活动3【巩固训练】1.（2016年全国1）（18）（本小题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC；

（II）找出二面角D-AF-E与二面角C-BE-F的平面角并证明。

【解析】试题分析：（I）证明F平面FDC，结合F平面F，可得平面F平面FDC．（II）建立空间坐标系，利用向量求解. 试题解析：（I）由已知可得FDF，FF，所以F平面FDC．

又F平面F，故平面F平面FDC．

【巩固训练】2.（2014年全国题18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

延长AE，过作DGAE,垂直为G，即DGAG，连接CG底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,DC平面PAD.,CDAGAG平面,

CGAG,故CGD为二面角D-AE-C的平面角，CGD=60°

五、课堂小结（完善前面的知识结构图)(主要由学生完成）

【设计意图】完善本单元的知识结构，形成角的问题主要类型图式，以及解题方法和解题程序。

1、确定直线与平面所成的角关键：

2、二面角的平面角的确定方法：

六、反馈作业：（教学评价）

【设计意图】巩固和形成三种角的几何法解题图式。

1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，则异面直线D1A1B1C1D1B与EC所成角的余弦值是（ ）D A.351015 B. C. D.

3510152、（2015全国2卷19改）（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）作出直线AF与平面ABCD所成的角；并说明理由。

（3）作出直线AF与平面α所成的角；并说明理由。

DACBDE D EF CABC B A

（2）过F作FPDC,平面DCC1D1平面ABCD于DC,FP平面ABCD,连接AP,

FAP直线AF与平面ABCD所成的角; FAP直（3）过A作AQEH,平面平面ABB1A1于EH,AQ平面,连接FQ,线AF与平面ABCD所成的角; AFQ直线AF与平面α所成的角. （

3、（本题满分12分）如左图，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB2,DC1,BC5,ABAD2.将左图沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60,如右图. （1）求证：AE平面BDC;

（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.

45）

15

4、（2011广东）（本题满分13分）如图5，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且

DAB600,PAPD2,PB2,E,F分别是BC,PC的中点，

（1）证明：AD平面DEF; （2）求二面角PADB的平面角，并说明理由。

(2)由(1)知,PHAD,BHAD,且PH面PAD,BH面BAD,PHB就是二面角PADB的平面角,

173PH(2)2()2,BH,PB2,2227334222PHBHPB321cosPHB442,2PHBH7732121222221即二面角PADB的余弦值为.7

附：导学案 《立体几何中的角的概念》复习

【学习目标】

1、理解异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角的概念。

2、借助鳖臑、筝型图式，找出结构简单的直线与平面所成的角，二面角的平面角，并会求出角的大小。

【教学过程】

一、告知目标

二、知识梳理

角的类异面直线所成的角

别

图形

概念

直线与平面所成的角

二面角的平面角

_______________________叫做斜线和平面所成的角,▲斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成角中__________

(2)

二面角的定义：_______________ 叫做二面角,________叫做二面角的棱，_____________叫做二面角的面。

(2)二面角的平面角：在二面角的棱l上任取一点O，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线OA,OB,则 ___________是二面角的平面角.

角取值

范围

求

角

的

方

法

几何法

(如何找角)

平移一线来构造可解三角形

确定直线在平面的射影，解直角三角形

确定二面角的平面角（三种常见确定方法），解三角形。

三、问题自查

1、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。

（4）异面直线BA1和AC所成的角为______；

（5）异面直线BE和B1C所成的角余弦值为______；

（3）直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值_______。

A1

D1 B1

C1 E A

D B

C

2、在棱长为1的正方体ABCDA1BC11D1中，找出下面的二面角的平面角。

（3）二面角C1-AB-C的大小；

（4）二面角C1BDC的正切值; （3）二面角AB1D1C的余弦值.

活动1【归纳小结】异面直线所成的角求解程序

四、促进知识的理解与运用

【典型样例】

.2018年全国1题18）

如图，1（

分别为 的中点，（变式）四边形 为正方形，以 为折痕把

折起，使点

到达点

的位置，且

. （1）证明：平面

平面 ；

（2）求 与平面 所成角的正弦值.

（变式）2.（2017年山东题17）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点. （Ⅰ）设P是CE上的一点，且APBE，求CBP的大小；

（Ⅱ）当AB3，AD2，求二面角EAGC的大小.

活动2【归纳总结】

确定直线与平面所成的角关键：找射影（平面的垂线），斜线与射影所成角θ，解三角形。

二面角的平面角的确定方法：

(1)根据平面角的定义找出二面角的平面角（分别在两个半平面找棱的垂线）; 空间模型：筝形

(2)根据三垂线定理或者逆定理（垂直三角形的两边的直线必定垂直第三边）

空间模型：鳖臑

活动3 【巩固训练】1.（2016年全国1）（18）（本小题满分12分）

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC；

（II）找出二面角D-AF-E与二面角C-BE-F的平面角并证明。

【巩固训练】2.（2014年全国题18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

求三（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，棱锥E-ACD的体积.

五、课堂小结（完善前面的知识结构图)(主要由学生完成）

1、确定直线与平面所成的角关键：

2、二面角的平面角的确定方法：

3、空间角的向量计算公式，向量法求空间角的基本程序：

六、反馈作业：（教学评价）

1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，则异面直线D1B与EC所成角的余弦值是（ ）

A1

2、（2015全国2卷19改）（本小题满分12分）

D如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相AE交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）作出直线AF与平面ABCD所成的角；并说明理由。

DF （3）作出直线AF与平面α所成的角；并说明理由。

AE

D

A

3、（本题满分12分）如左图，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB2,DC1,BC5,ABAD2.将左图沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60,如右图. （3）求证：AE平面BDC;

（4）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值. 351015 B. C. D.

A.351015D1C1B1CBCBC B

4、（2011广东）（本题满分13分）如图5，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB600,PAPD2,PB2,E,F分别是BC,PC的中点，

（1）证明：AD平面DEF; （2）求二面角PADB的平面角，并说明理由。