1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学内容分析

1．4.3

含有一个量词的命题的否定

学习目标

1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

知识点一

全称命题的否定

思考

尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．

(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

梳理

写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．

对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________. 全称命题的否定是________命题．

知识点二

特称命题的否定

思考

尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0.

梳理

写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定．

对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．

类型一

全称命题的否定

例1

写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

反思与感悟

全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．

跟踪训练1

写出下列全称命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.

类型二

特称命题的否定

例2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)p：∃x0>1，使x20－2x0－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形．

反思与感悟

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．

跟踪训练2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.

类型三

特称命题、全称命题的综合应用

例3

已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．

反思与感悟

对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min. 跟踪训练3

已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．

(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；

(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

1．已知a>0且a≠1，命题“∃x0>1，logax0>0”的否定是(

) A．∃x0≤1，logax0>0

C．∀x≤1，logax>0

B．∃x0>1，logax0≤0 D．∀x>1，logax≤0 2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(

) A．綈p：∀x∈A,2x∉B

C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B

B．綈p：∀x∉A,2x∉B

D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B

13．命题“对任意一个实数x，都有>0”的否定是____________________．

2x＋44．由命题“∃x0∈R，x20＋2x0＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________. 5．已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x0∈R，2使x20＋m<9”．若命题“綈p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．

1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”．

2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．

3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：

原词语

是

都是

大于

否定词语

不是

不都是

不大于

原词语

至少有一个

至多有一个

至少有n个

否定词语

一个也没有

至少有两个

至多有(n－1)个

小于

任意的

所有的

不小于

某个

某些

至多有n个

能

等于

至少有(n＋1)个

不能

不等于

答案精析

问题导学

知识点一

思考

(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0. 梳理

∃x0∈M，綈p(x0)

特称

知识点二

思考

(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：

(2)所有平行四边形都不是菱形；

(3)∀x∈R，x2＋1≥0. 题型探究

例1

解

(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．

(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在．

(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 跟踪训练1

解

(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．

(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根．

(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0. 例2

解

(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假)．

(2) 綈p：所有的素数都不是奇数(假)．

(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．

跟踪训练2

解

(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由

于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．

例3

解

(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，

∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

跟踪训练3

(1)证明

当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，

∴对任意x∈R，都有f(x)≤0. (2)解

∵f(x)≤4x恒成立，

∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，

a<0，a<0，∴即

Δ≤0，4＋12a≤0，

1解得a≤－，

31即实数a的取值范围是(－∞，－]．

3当堂训练

1．D

2.D 3．存在一个实数x0，使得2x0＋4≤0 11解析

“对任意一个实数x，都有>0”的否定是“存在一个实数x0，使得<0或2x＋42x0＋42x0＋4＝0”，即“存在一个实数x0，使得2x0＋4≤0”．

4．1 5．解

由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以綈p：“不等式f(x)≤0在实数集2上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x0∈R，使x0＋m2<9”，22即不等式x20<9－m在实数集上有解，故9－m>0，所以－3