3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案推荐

直线的倾斜角和斜率

东莞中学松山湖学校 陈平平

【内容和内容解析】

内容：

教材由直线的倾斜程度引出了倾斜角的概念，用坡度引出了描述倾斜程度的另一个量——斜率，研究了倾斜角和斜率之间的关系，并推导得出了直线过两点的斜率公式。

内容解析：

直线与方程属于解析几何学的基础知识，是研究两条直线位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础。在方法上，介绍了坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。本节课为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念。故本节课是本章学习的基础。

本节课的重点是直线的倾斜角和斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程；本节课的难点是对斜率概念以及斜率和倾斜角之间的关系的理解，过两点的直线的斜率公式的建立。在教学过程中，宜采用启发式教学，以问题串起整个教学过程，让学生通过思考、讨论、交流完成知识的构建。在教学过程中，还要注意向学生渗透数形结合和分类讨论等重要的数学思想。

【目标和目标解析】

目标：

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念

2．掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角

3．理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系

目标解析: 1．通过几何画板的演示，让学生对倾斜角的概念有一个直观的认识，理解倾斜角和斜率反应的都是直线对x轴正向的倾斜程度。

2．通过过两点的直线斜率公式的推导，培养学生综合分析问题的能力，让学生感受到数学的严谨，并渗透分类讨论思想和数形结合的数学思想方法。

【教学问题诊断】

1．学生对直线有一定的了解，但是倾斜角和斜率这两个概念对于学生来说是全新的。对它们之间关系的理解还需要一个过程。

2．学生对“任何一直线都有倾斜角，但却并不一定有斜率”、“有斜率就一定有倾斜角”、“倾斜角增大，斜率就增大吗”等概念性问题，开始可能都会比较模糊，难以形成一个清晰的知识条理结构；

3．斜率公式的代数刻画过程以及斜率公式应用的范围等都体现了数学分类的思想和数学的严谨性，对学生来说也是一个挑战。

4．针对以上情况，教学时宜采用启发式教学，合作讨论，同时结合多媒体，破解教学重难点，帮助学生完成知识的构建。

【教学支持条件分析】

多媒体技术的应用能够很好的帮助学生概念的形成。在倾斜角概念的理解和斜率公式是否与点的顺序有关探究中，几何画板的支持能够很好、动态的展示变化过程，给学生以直观的认识，有利于学生发现其中的规律，同时突出图形在数学中的应用。

【教学过程】

一、知识导入

前面我们学习立体几何，从今天开始，我们学***面解析几何，也就是用代数坐标的方法研究几何图形问题。在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有

序实数对(x,y)来表示和确定。那么直线呢？在平面直角坐标系中，

问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能。

对，很明显。如图, 过一点P就可以作无数多条直线。那么，

问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答

预案：(1)它们都经过点P；(2)它们的‘倾斜程度’不同。

那么，我们应该怎样描述这种不同直线‘倾斜程度’的不同呢？

〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生。所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用。

二、知识探索

(一)直线倾的斜角

1．定义：直线L与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线L向上的方向之间所成的角叫做直线L的倾斜角。

教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向与直线L向上的方向所成的角。为了帮助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现。如下图所示：

教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角就是直线L的倾斜角。

〖设计意图〗学生开始对倾斜角概念还有些模糊，再此数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解。

【快速练习一】

1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

A B C D 2．请标出下列四个坐标系中直线L的倾斜角。

〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解。第一题比较简单，通过PPT展示出来后，让学生集体回答即可。第二题稍难一些，在实际授课时，教师将四个图形画到黑板上，请一个同学到黑板上来画。这个题目看起来简单，而实际上，题目中设置了一些问题，图（4）情况的倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样就给学生的制造了一定

的认知冲突，激发了学生学习探究的兴趣，同时加深了学生对图（4）这种特殊情况下倾斜角的的记忆。

教师一边巡查一边指导。待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图（3）是直角。那图（4）呢？

问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？那么它到底应该是多少呢？

学生可能难以回答。此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现：

预案：定义中的倾斜角是要求直线L与x轴相交的，而图（4）中的直线L却是与x轴平行的。

教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出。所以，我们对于此类直线，也就是当直线L与x轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为00。

所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L倾斜角的范围为：00≤＜1800。

〖设计意图〗至此，直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成。由易到难，由旧到新，符合学生的认知过程。学生很自然的完成了知识的过渡，并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角这个概念的理解，让学生明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x轴正方向的倾斜程度。”为了更加深直线和倾斜角之间的关系，我们继续提问：

问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？

预案：有且只有一个。

问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？

预案：无数条。它们都是互相平行的。如右图。

所以仅有倾斜角是不能确定直线的！

问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？

预案：再加一个点。即一个点P和倾斜角可以唯一确定一条直线。

〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评。以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系。

（二）直线的斜率

问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量呢？

学生可能难以回答此问题。老师可以慢慢引导。

在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）。其实坡度的实际就是倾斜角的正切。用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度。

1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。用小写字母

k

表示，即ktan。

【快速练习二】

已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率。

（1）300 （2）600 （3）900 （4）1200

〖设计意图〗学生对于初中学过的特殊角的三角函数值已经有些陌生，在此既复习特殊0tan(180)tan角的三角函数值，又熟悉直线斜率的求法。对于（4）要告诉同学们公式

（是锐角）。同时，根据题目可以总结出一些结论，承上启下。

教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为）

①00900k0 ②9001800k0 ③00k0 ④900k不存在

我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系，请大家看屏幕。(略) 问题：任何一条直线都有斜率吗？

预案：倾斜角为900的直线没有斜率。

教师：所以，我们要知道，所有的直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率的。

〖设计意图〗加深对倾斜角和斜率之间的关系的理解。

2．过两点的直线斜率的公式

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了。我们知道，如果给定直线的倾斜角90，我们当然可以根据斜率的定义ktan求出直线的斜率；我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，那么怎么求出该直线的斜率呢？也就是：

问题：已知直线L上两个点的坐标P如何求直线L的斜率呢？

x1x2，1(x1,y1),P2(x2,y2)，对于这个问题，学生一下难以回答。教师可以先给出一个图形（图一），一定要让学生结合图形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出ky2y1。

x2x1

图一 图二

教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，那么当为钝角时，公式还成立吗？请同学们自己推导。让一个学生到黑板上推导。

〖设计意图〗整个斜率的推导过程体现了数形结合和分类讨论的思想，教学中一定要向学生不断渗透这些数学思想。师生共同完成了锐角的推导过程，钝角的推导则完全由学生自己推导，让学生真正体会到知识的形成过程，并利用这一过程将外在的知识点内化成自身知识体系的一部分，完成知识飞跃，完善知识结构。

问题：当=00时，公式ky2y1还成立吗？

x2x1预案：当=00时，直线与x轴平行或重合。tan000；y2y1，此时k0，所以当=00时公式依然成立。

问题：与P1，P2在直线上的顺序有关吗？

让学生思考，讨论。学生开始会觉得与顺序有关，但是后来有觉得应该是没有关系的，但说不出具体的利用。此时教师结合几何画板，再结合图象，拖动点P1，P2的位置，让学生直观发现直线L的斜率并没有因P1，P2位置的改变而改变。详细推导过程留给学生课外完成。

任意拖动改变P1,P2位置

斜率k的大小并没有改变

预案:无关.即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换。

问题：从几何角度怎样理解公式中要求x1x2呢？

预案：当x1x2，直线垂直x轴，倾斜角为900，此时斜率不存在。所以一定要注意公式适用的范围。

〖设计意图〗通过问题引导，层层推进，分解公式难点，挖掘公式中的隐含知识点。同时结合几何画板，加深对公式的理解。留下一定的思考题，将课堂内容延伸到课外，培养学生合作探究的能力和习惯。

教师：到现在为止，我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式。我们也有两种方式来求直线的斜率了。一是利用倾斜角，二是利用直线上两点的坐标。而且我们还可以先利用直线上两点的坐标算出斜率，进而求得直线的倾斜角。

三、知识应用

例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： （1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）

（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （ ） （3）平行于x轴的直线的倾斜角是00或1800 （ ） （4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

（ ）

〖设计意图〗斜率与倾斜角概念的辨析题，巩固对斜率与倾斜角的理解。

例2：已知A(3,2)，B(-4,1)，C(0,1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

〖设计意图〗斜率公式的直接应用和斜率的正负与倾斜角之间的关系。

练习：

1．已知过点P(-2，m)和Q(1，4)的直线的倾斜角为450，求m的值。

〖设计意图〗斜率公式与倾斜角的直接应用。

2．求经过点A(2，-1)和点B(a，-2)的直线L的斜率，并讨论a为何值时，直线L的倾斜角是锐角、钝角、直角？

〖设计意图〗例2知识点的延伸，同时隐含了分类讨论的思想。

3．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值。

〖设计意图〗加深对斜率公式的理解，让学生明白斜率的求得与直线上的点的选择无关。同时此题也是用斜率研究三点共线问题，为后面的学习做铺垫。

〖题组设计意图〗整个练习的设计围绕斜率和倾斜角展开，由浅入深。同时注意了知识的承上启下和数学思想的渗透。

四、知识小结

1、直线的倾斜角定义及其范围：00≤＜1800

2、倾斜角和斜率k之间的关系：

①00900k0 ②9001800k0

③00k0 ④900k不存在

3、直线斜率的两种求法：

①若已知倾斜角(900)时，ktan

②若知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1x2，k五、板书设计

y2y1

x2x1

【目标检测设计】

1．如下图所示，表示为直线L的倾斜角的是（ ）……………〖倾斜角的定义〗

A B C D

2．下列命题

①若直线的倾斜角，则直线的斜率为tan ②一条直线的倾斜角可以是300

③倾斜角为为00的直线只有一条

④任何一条直线都有唯一的倾斜角，但并不一定有斜率

其中正确命题的个数是（ ）……………………………〖倾斜角概念、与斜率的关系〗

A．1 B．2 C．2 D．4 33．已知直线L的斜率为，且经过点A(1,-2)，B(2,m)，则m的值为（ ）

471111A． B． C．2 D．

444…………………………〖斜率公式的直接应用〗

4．直线L的倾斜角是斜率为3的直线的倾斜角的2倍，则直线L的斜率为（ ） 323 D．3

3A．1 B．3 C．…………………………〖倾斜角与斜率的关系〗

5．过A（-2，0），B（-5，0）两点的直线的斜率为 ，倾斜角为 。

…………………………………〖概念直接应用〗

m6．已知三点A2,3,B4,3,C5,在同一直线上，则m的值为 2………………………………〖斜率公式的应用〗

7．若过点P(1a,1a),Q(3,2a)的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为 ………………………〖斜率倾斜角综合应用〗

8．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为600。

……………………〖斜率公式和分类讨论思想〗

9．直线l过点P1,2且与以A2,3,B3,0为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围。

…………………〖斜率公式和数形结合思想〗