1.1.2 四种命题主要内容及教案内容

1.1.2

四种命题

1．1.3

四种命题间的相互关系

●三维目标

1.知识与技能

初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

●重点、难点

重点：四种命题之间相互的关系．

难点：正确区分命题的否定形式及否命题．

通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．

●教学建议

这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析

问题和解决问题的能力得到进一步的提高．

学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．

通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．

●教学流程

创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒⇒⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.通过例1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.通过例2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒

课前自主导学

【问题导思】

给出以下四个命题：

(1)对顶角相等；

(2)相等的两个角是对顶角；

(3)不是对顶角的两个角不相等；

(4)不相等的两个角不是对顶角；

1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？

【提示】

它们的条件和结论恰好互换了．

2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？

【提示】

命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆

否命题．

【问题导思】

1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？

【提示】

逆命题：若q，则p. 否命题：若綈p，则綈q. 逆否命题：若綈q，则綈p. 2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？

【提示】

互逆、互否、互为逆否．

四种命题的相互关系

【问题导思】

1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？

【提示】

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？

【提示】

原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．

1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．

2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.

课堂互动探究：

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0. 【思路探究】

(1)原命题的条件与结论分别是什么？

(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？

【自主解答】

(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．

否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，

逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，

否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，

逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．

2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．

分别写出下列命题的逆命题

、否命题和逆否命题．

(1)负数的平方是正数；

(2)若a＞b，则ac2＞bc2. 【解】

(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．

(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．

(1)菱形的对角线互相垂直；

(2)等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

【思路探究】

确定条件与结论→写出三种命题→判断真假

【自主解答】

(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．

否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．

逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．

1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．

2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．

3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．

下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

C．②③

B．①③

D．①

【解析】

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．

③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程x2＋x－m＝0无实根，

1∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－. 4故m≤0，为真命题．

故正确的命题是①，③选B. 【答案】

B

若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．

【思路探究】

(1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？

(2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？

【自主解答】

若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．

1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．

2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．

3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．

【解】

∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，

7则4a－7＜0，解得a＜. 4因此a＜2，原命题是真命题．

又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题. 易错易误典例：

写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．

【错解】

逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；

否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．

【错因分析】

本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．

【防范措施】

要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．

【正解】

逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．

1．写出四种命题的方法：

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

2．四种命题的真假关系：

若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.

双基达标

11．(2013·福州高二检测)已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是2(

) 1A．若a2＋b2＜，则a＋b≠1 21B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜

21C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜

21D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1 211【解析】

“a＋b＝1”，“a2＋b2≥”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜”，221故否命题为：“若a＋b≠1，则a2＋b2＜”．

2【答案】

C 2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(

) A．逆命题

C．逆否命题

B．否命题

D．无关命题

【解析】

从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．

【答案】

A 3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．

【解析】

原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．

【答案】

当x2＋x－6≠0时，x≠2. 4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．

(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0. 【解】

(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；

否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．

(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．

课后检测

一、选择题

1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是(

) A．若p，则綈q

B．若q，则綈p

C．若綈q，则p

D．若綈q，则綈p

【解析】

若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．

∴“若綈q，则p”一定是真命题．

【答案】

C 2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

) A．互逆命题

C．互为逆否命题

B．互否命题

D．以上都不正确

【解析】

设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．

【答案】

A 3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为(

) A．3

B．2

C．1

D．0 【解析】

易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B. 【答案】

B 4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是(

) A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题

B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题

C．“已知a，b，m∈R，若am2

D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题

【解析】

若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，

∴A正确；

B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．

知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．

C中的逆命题为：“已

D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．

【答案】

C 5．下列命题中，不是真命题的为(

) A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题

B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题

C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题

D．“对顶角相等”的逆命题

【解析】

A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．

【答案】

D 二、填空题

6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．

【答案】

若A∪B≠B，则AB. 7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

【解析】

由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．

m－1≤1∴，∴1≤m≤2. m＋1≥2

【答案】

[1,2] 8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：

①若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解．

②“等腰三角形都相似”的逆命题；

3③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题；

2④“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题．

其中真命题的序号是________．

3【解析】

显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x－是有理数，则x是无理2数”为假命题，∴逆否命题为假命题．

对于④中，“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．

【答案】

①

三、解答题

9．设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

【解】

原命题是真命题．

逆命题是“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”，是真命题．

否命题是“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”，是真命题．

逆否命题是“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”，是真命题．

10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

【解】

(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．

(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，

∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．

∴该命题是真命题．

11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 【证明】

假设a＋b＜0，则a＜－b. ∵f(x)在R上是增函数．

∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．

∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．

即f(a)＋f(b)＜0. ∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真