习题2.1优质课教案设计

《圆锥曲线中的面积问题》——二轮专题复习

编写：刘嘉玲

一、学情分析

圆锥曲线在高考中中所占分值基本一大一小，总分17分。经过一轮复习与多次测试，对于圆锥曲线面积的求值与最值题目，学生最主要的问题有两点：1、计算能力有待提升；2、三角形（四边形）的面积表示不出来或者选择不合适的表达使后续运算复杂化。圆锥曲线中关于面积求值、最值等问题都建立在面积的表示上，因此本课主要内容为圆锥曲线中面积的表示。

二轮复习进度：圆锥曲线专题复习。

二、考点分析

圆锥曲线中的最值问题为高考常见解答题型，涉及距离、面积、直线或圆锥曲线中几何元素的最值，常与平面向量、函数、方程、不等式等相联系。本题涉及面积的最值，属于中难题。

三、学习目标

1.选择适当的代数化的形式解决中点弦，弦长、面积最值、范围问题；

2.强化解析几何的转化能力，找准问题的切入点。

2、从得分策略，掌握“抢分原则”

四、教学过程

【高考题链接】

1、（2016年全国1卷）设圆x2+y2+2x－15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 2、（2016年全国卷）已知抛物线C:y2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2，分别交C于A,B两点，交C的专线于P,Q两点. （1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR//FQ; （2）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. （设计意图：通过结合高考题进行考点分析，学生在高考题的背景下能够更专注于本节课需要解决的面积相关问题。）

【问题引入】

22设O为坐标原点，直线1交圆x+y=4于A，B两点，则△OAB面积的最大值是_______ 2解：设弦长AB2a，弦心距为d，圆的半径为r2，

a2d2r24

SOAB

1122|AB|dad(ad)222当且仅当ad2时等号成立，故OAB面积的最大值为2.

另解：SOAB1|OA||OB|sinAOB2sinAOB2

所以当AOB900时，SOAB取得最大值2.（题目意图：一题多解，目的在于让学生初步感受同一个三角形面积表示选择不同，后续方法与计算简便程度不同）

【例题讲解】

x2y2例1、如图，过椭圆E:221ab0上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A,B分别为E的右顶点，ab上顶点，且P(-1，2)．

2（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线过焦点F作直线，交E于M,N两点，求三角形OMN面积S的最大值。

（3）过原点O作斜率为kk0的直线，交E于C,D两点，求四边形ACBD面积S的最大值．

2解：（1）PFx轴，P(-1，)，c12又点P在椭圆上，111且a2b2c2，a2,b122a2bx2椭圆的标准方程为y212

另解：依题意得左右焦点为F(1,0),F2(1,0)根据椭圆的定义：2a|PF||PF2|22x2椭圆的标准方程为y212

2212),N(1,),可得SOMN|MN||OF|;2222(ii)当MN直线斜率存在，设为yk(x1),M(x1,y1),N(x2,y2)(2)解：(i)当MN直线斜率不存在时,即x1,M(1,yk(x1)2222联立方程2得(12k)x4kx2k202x2y24k22k22韦达定理得x1x2,x1x2,2212k12k4k222k222k222则弦长|MN|1k(x1x2)4x1x21k()421k12k212k2(12k2)2222原点（0，0）到直线MN的距离d故所求面积SOMN|k|1k2,2k42k2(2k21)2

12k22d|MN||k|2(2k21)2令t2k21,则t1,SOMN22t212121t22t222。2

综上所述，三角形OMN面积最大值为

【问题1】在面积的表示计算过程中，难点在哪里？——弦长的计算

4k222k222k222弦长|MN|1k(x1x2)4x1x21k()421k2212k12k(12k2)2

222优化计算：|x1x2|(x1x2)24x1x2

a

【问题2】在圆锥曲线中计算面积相关问题的程序是什么？

（设计意图：和学生一起梳理并且完善解题程序，帮助学生形成较严谨的思路）

【问题2】三角形面积表示是否还有其他方法？

(2)另解：直线MN设为xmy1,M(x1,y1),N(x2,y2)xmy122联立方程2消去x,化简得:(m2)y2my102x2y22m1韦达定理得y1y22,y1y22,m2m22m242(m21)则|y1y2|(y1y2)4y1y2(2)22m2m2(m22)22则角形OMN面积SOMN1|OF||y1y2|22(m21)(m22)22242令tm21,则SOMN2t221t2t1t2t当t1,即m0时,三角形OMN面积最大值为2。2

（设计意图：第二问是在原题（1）（3）问的基础上添加的，目的在于用三角形作为例子，引导学生观察图形的特点，选择适当的面积表示，从而简化后续计算）

法1：S四边形ACBDSACDSBCD

(2)A(2,0),B(0,1),C(x1,y1),D(x2,y2)设直线CD:ykx(k0),联立方程ykx222整理得：(2k1)x20,x2y122x1x20,x1x227分2k1|CD|1k|x1x2|1k点A到CD距离：d1点B到CD距离：d2法2：

(2)A(2,0),B(0,1),C(x1,y1),D(x2,y2)，设直线CD:ykx(k0),



ykx2整理得：(2k21)x220,x2y1

222(x1x2)4x1x21k282k212k1k211k2SSACDSBCD12k2|CD|(d1d2)10分222k1

则x1＝21＋2k2，x2＝－21＋2k2．…7分2,0)，B(0,1)得|AB|＝3,且AB：x＋2y－2＝0，x12y12|x12y12|

即d1点C到AB距离：d133

由A(（x22y22）|x2y2|22即d

D到AB距离：d2点2332＋2k111S＝|AB|(d1＋d2)＝[(x1－x2)＋2(y1－y2)]＝(1＋2k)(x1－x2)＝，…10分2221＋2k2则s22(122k2k21)，2k2122k，当且仅当2k21时，即k22,四边形ABCD面积取得最大值2

法3：SSBOCSBODSAOCSAOD

SSBOCSBODSAOCSAOD12|OB||x11x2|2|OA||y1y2|

根据椭圆的对称性：

S2x12y1

（设计意图：四边形的面积表示，从而引出完整面积问题的相关解题流程，通过该题举一反三）

【变式训练】

变式：设抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C(7p,0)，AF与2BC相交于点E.若CF2AF，且△ACE的面积为32,则p值为_______. 思考：SAEC如何表示方便运算？

（设计意图：强调间接法中的割补法——大三角形面积-小三角形面积）

五、总结

面积表示：直接法、间接法（切割法）、引入参数

解题程序：

六、课后巩固

1、已知椭圆截得的线段长为1．

求椭圆C的标准方程；

过点

2、

的左右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线被椭圆的直线与椭圆交于两点,求面积的最大值

x2y2已知椭圆C:1,F是该椭圆的右焦点，若AB为垂直于x轴的动弦，43直线l:x4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M(x0,y0)xy(1)求证：00122

七、教学反思

本节课的主要目的在于通过具体的例题，引导学生分析圆锥曲线条件中的几何性质，从而选择更适当的代数化的形式解决中点弦，弦长、面积最值、范围问题，简化计算，从而达到8——10分；强化解析几何的转化能力，找准问题的切入点。

本节课做得较好的地方：让学生带着问题去学习，增强学生的学习目的；学生在黑板上板书计算过程，呈现学生真实的问题所在，并就在计算过程中学生的难点——弦长公式的计算进行简化处理；与学生总结解决圆锥曲线中求面积有关问题的程序，并且引申到求定值等问题上，发散学生的思维以及增强知识之间的联系与思考。

有待改进的地方：与学生的问题式互动仍需加强，以及在处理问题细节上应该更严谨细致，课堂检测学生掌握程度的方式有待完善；备课过程中应该尽量发掘学生可能出现的问题，在课堂上进行强化。