1.2.1 充要条件教学设计实例

1．2

充分条件与必要条件

1．2．1

充分条件与必要条件

1．2．2

充要条件

1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．

2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．

3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．

1．充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

(2)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．有之未必成立，无之必不成立

2．充要条件

如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件．

p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(

) (2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(

) (4)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)√

(4)√

“x＞0”是“x≠0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

“若p，则q”是假命题

p⇒/q

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是

(

) 1A．x＝－

2C．x＝5

答案：D

“log3M＞log3N”是“M＞N”成立的________条件．

答案：充分不必要

探究点1

充分、必要、充要条件的判断

下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(2)p：m＞0，q：x2＋x－m＝0有实根；

(3) p：在△ABC中，A≠60°，q：sin A≠3；

2B．x＝－1 D．x＝0 (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

【解】

(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．

(2)因为m＞0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，

即Δ＝1＋4m≥0⇒/m＞0，所以p是q的充分不必要条件．

(3)因为在△ABC中，A≠60°⇒/sin A≠⇒A≠60°，

所以p是q的必要不充分条件．

/四边形是平行四边形，四边形的对角线相等⇒(4)因为

四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，333(A＝120°时，sin A＝)，在△ABC中，sin A≠222所以p是q的既不充分也不必要条件．

充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法

若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若AB，则p是q的充分不必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件．

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．

指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2)p：x2＋x－2＞0，q：|x－2|＜1；

(3)p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b＞0．

解：(1)因为p⇒q，q⇒/p，

所以p是q的充分不必要条件．

(2)|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3；x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1．由于(1，3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，

所以“x2＋x－2＞0”是“|x－2|＜1”的必要不充分条件．

(3)因为p⇒q，q⇒p，即p⇔q，

所以p是q的充要条件．

(4)因为a·b＝0时，|a·b|＝a·b，

所以“|a·b|＝a·b”⇒/“a·b＞0”，即p⇒/q．

而当a·b＞0时，有|a·b|＝a·b，即q⇒p．

所以p是q的必要不充分条件．

探究点2

充分条件、必要条件、充要条件的应用

已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【解】

p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

1－m≥－21－m＞－2故有或，

1＋m＜101＋m≤10解得m≤3．

又m＞0，

所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．

1．[变条件]若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，

所以AB．

1－m≤－21－m＜－2，所以或

1＋m＞101＋m≥10.解不等式组得m＞9或m≥9，

所以m≥9，

即实数m的取值范围是m≥9．

2．[变问法]本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

－2＝1－m若p是q的充要条件，则，m不存在．

10＝1＋m故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

由条件关系求参数的取值(范围)的步骤

(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．

(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．

1．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．

解析：化简p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，

由于q是p的充分条件，

a－4≤2，故有解得：－1≤a≤6．

a＋4≥3，答案：[－1，6]

2．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．

解析：p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3．

1q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－．

a11由题意知p⇒/q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝aa11－或a＝．

2311综上可知，a＝－或a＝．

2311答案：－或

23探究点3

充要条件的证明

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．

【证明】

充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) 因为ac<0，

所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，

所以方程一定有两不等实根．

c设两根为x1，x2，则x1x2＝<0，

a所以方程的两根异号．

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2c＝<0，即ac<0．

a综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

(2018·福建泉州永春一中期中考试)已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究数列{an}是等差数列的充要条件．

解：当{an}是等差数列时，因为Sn＝(n＋1)2＋c，

所以当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，

所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，所以an＋1－an＝2为常数．

又a1＝S1＝4＋c，所以a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c．

因为{an}是等差数列，

所以a2－a1＝2，所以1－c＝2，所以c＝－1．

反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，

可得an＝2n＋1(n∈N*)，所以{an}为等差数列，

所以{an}为等差数列的充要条件是c＝－1．

π1．“tan α＝1”是“α＝”的(

) 4A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

ππα＝kπ＋，k∈Z，而解析：选B．若tan α＝1，则α＝kπ＋(k∈Z)，对应集合A＝α44πππα＝．显然B是A的真子集，所以“tan α＝1”是“α＝”的必要不α＝对应集合B＝α444充分条件．

2．(2017·高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．因为m，n是非零向量，所以m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉<0的充要条件是cos〈m，n〉<0．因为λ<0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉<0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n<0”；而由“m·n<0”，可推得“cos〈m，n〉<0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件，故选A．

3．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选D．若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．

4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

)

A．m＝－2

C．m＝－1

B．m＝2 D．m＝1 解析：选A．当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2．

知识结构

深化拓展

1．充分条件、必要条件、充要条件的传递性

(1)若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即p⇒q，q⇒s，则有p⇒s，即p是s的充分条件．

(2)若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即q⇒p，s⇒q，则有s⇒p，即p是s的必要条件．

(3)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．

2．证明充分、必要条件时需注意的两点

(1)分别证明充分性和必要性两个方面，在解题时要避免把充分性当必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若从条件推出结论，就是充分性；若从结论推出条件，就是必要性．

(2)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每一步都是可逆的，即反过来也能推出．

[学生用书P89(单独成册)]) [A

基础达标] 1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的

(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．因为A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，若a＝3，则A＝{1，3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

2．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(

) A．充分必要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C．因为(－1，3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．

3．(2018·福建泉州高考数学模拟)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0与直线x＋(a－2)y

＋1＝0平行”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

a（a－2）＝3×1解析：选C．由两直线平行，可得，解得a＝－1；当a＝－1时，两a×1≠3×1直线的方程分别为x－3y－3＝0和x－3y＋1＝0，可知两直线平行．故“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0与直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的充要条件．

4．(2018·浙江宁波十校联考)已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B．因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab＞0，由ab＞0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab＞0，由ab＞0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B．

ab5．设a、b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(

) |a||b|A．a＝－b

C．a＝2b

B．a∥b

D．a∥b且|a|＝|b| abab解析：选C．对于A，当a＝－b时，≠；对于B，当a∥b时，与可能不相等；|a||b||a||b|a2bbab对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠．

|a||2b||b||a||b|ab综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b．

|a||b|6．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．

(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；

(2)“x＜5”是“x＜3”的________．

解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．

(2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为AB，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．

答案：(1)充要条件

(2)必要不充分条件

7．“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a<2”的________条件．

解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝a，所以当f(x)在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，而a≤1⇒a<2，a<2⇒/a≤1，

所以是充分不必要条件．

答案：充分不必要

8．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；

②已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件；

③“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；

④在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．

解析：①中，当x＞1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③中，当a＞b时，a3＞b3一定成立，但a3＞b3也一定能推出a＞b，即“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，所以③不正确；④中，当a＞b时，有A＞B，所以“a＞b”是“A＞B”的充分条件，所以④不正确．

答案：①

9．下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？

(1)p：c＝0，q：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；

(2)p：x＞1且y＞1，q：x＋y＞2且xy＞1；

(3)p：0＜x＜3，q：|x－1|＜2．

解：(1)c＝0⇒抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点⇒c＝0．故p是q的充要条件，q是p的充要条件．

(2)x＞1且y＞1⇒x＋y＞2且xy＞1；而x＋y＞2且xy＞1⇒/x＞1且y＞1．故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(3)0＜x＜3⇒|x－1|＜2，|x－1|＜2⇒－1＜x＜3⇒/0＜x＜3．故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

10．已知p：x2－2x－3<0，若－ab恒成立的实数b的取值范围．

解：由于p：x2－2x－3<0⇔－1

－a0)．

依题意，得{x|－10)，

1－a≤－1，所以1＋a≥3，解得a>2，

2a>4，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．

[B

能力提升] 11．(2018·成都高二检测)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(

) A．a≥b＋1

B．a＞b－1

C．a2＞b2

D．a3＞b3

解析：选A．由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3．5，则4＞3．5⇒/4≥3．5＋1，故a＞b⇒/a≥b＋1，故A正确．

112．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的2取值范围是________．

解析：因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，

11a＜2，a≤2，1所以或解得0≤a≤．

2a＋1≥1a＋1＞1，10，

答案：213．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．

1解：当a＝0时，x＝－符合题意．

2当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，

1当a＞0时，－<0，若Δ＝4－4a≥0，

a则a≤1，即0＜a≤1时，f(x)有两个负实数根．

当a＜0时，因为f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，

所以方程恒有负实数根．

综上所述，a≤1为所求．

13－，2}，q：B＝{x||x－m|≥1}，14．(选做题)已知命题p：A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈22并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

3273解：先化简集合A，由y＝x－x＋1，配方，得y＝x－4＋．

216217－，2，所以y∈，2．

因为x∈2167≤y≤2．由|x－m|≥1，

所以A＝y16解得x≥m＋1或x≤m－1．

所以B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．

因为命题p是命题q的充分条件，

所以A⊆B．

7所以m＋1≤或m－1≥2，

169解得m≤－或m≥3．

16

9－∞，－∪[3，＋∞)．

故实数m的取值范围是16命题与充要条件(强化练)[学生用书P91(单独成册)] 一、选择题

1．下列命题是假命题的是(

) A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2＞bc2，则a＞b

1D．若α＝60°，则cos α＝

2解析：选B．因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B．

2．(2018·江西临川一中高二(下)期末考试)命题“若x，y都是奇数，则x＋y也是奇数”的逆否命题是(

) A．若x＋y是奇数，则x，y不都是奇数

B．若x＋y是奇数，则x，y都不是奇数

C．若x＋y不是奇数，则x，y不都是奇数

D．若x＋y不是奇数，则x，y都不是奇数

解析：选C．由于“x，y都是奇数”的否定表达是“x，y不都是奇数”，“x＋y是奇数”的否定表达是“x＋y不是奇数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是奇数，则x，y不都是奇数”，故选C．

3．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1，4)，则“x＝3”是“a∥b”的

(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．当a∥b时，有2×4－(x－1)(x＋1)＝0，

解得x＝±3．因为集合{3}是集合{3，－3}的真子集，故“x＝3”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A．

4．命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选D．原命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a＞0，则a＞1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．故选D．

5．“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1，2]上存在零点”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．当a＞3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1，2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1，2]上存在零点时，不一定是a＞3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1，2]上存在零点．所以“a＞3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1，2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A．

6．给出下列三个命题：

(1)“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；

(2)“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”的逆命题；

(3)“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．0 解析：选A．(1)逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；(2)逆命题是“若x2＋2x＋c＝0有实根，则c≤1”，因为方程x2＋2x＋c＝0有实根，所以Δ＝4－4c≥0，所以c≤1，所以(2)是真命题；(3)若A∪B＝A，则B⊆A，所以“若A∪B＝A，则A⊆B”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．故选A．

7．下面的命题中是真命题的是(

) A．y＝sin2x的最小正周期为2π

cB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则＞0 aC．如果A⊆B，那么A∪B＝A

→→D．在△ABC中，若AB·BC＞0，则B为锐角

1－cos 2x2π解析：选B．y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；若A⊆B，则A∪B＝B，22故C为假命题；

→→→→当AB·BC＞0时，向量AB与BC的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．故选B．

8．(2018·四川成都七中段考)若命题“若x＜m－1或x＞m＋1，则x2－2x－3＞0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是(

) A．(－1，2)

C．[－1，1)

B．(0，2] D．[0，2] 解析：选D．由已知，易得{x|x2－2x－3＞0}{x|x＜m－1或x＞m＋1}．又{x|x2－2x－－1≤m－1－1＜m－13＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，所以或，所以0≤m≤2．

m＋1＜3m＋1≤39．(2016·高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任

意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(

) A．充要条件

C．必要而不充分条件

－B．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

－－－解析：选C．由题意得，an＝a1qn1(a1＞0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n2＋a1q2n1＝a1q2n2(1＋q)．

若q＜0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n＜0，即a1q2n2(1＋q)＜0，可得q＜－1＜0．故“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋－a2n＜0”的必要而不充分条件．

10．设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是(

) A．(0，5]

C．[5，＋∞)

解析：选A．由|x－2|＜3，得－3＜x－2＜3，

即－1＜x＜5，即p：－1＜x＜5，因为q：0＜x＜a，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0＜a≤5，故选A．

二、填空题

11．命题“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题为________，是________(填“真”或“假”)命题．

解析：命题“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．

答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4

真

12．给出下列三个命题：

①当m＝0时，函数f(x)＝mx2＋2x是奇函数；

②若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；

③已知x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1．

其中为真命题的是________(填序号)．

解析：①中，当m＝0时，f(x)＝mx2＋2x＝2x是奇函数，故①是真命题；②中，取a＝b＝0，c＝1，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故②是假命题；③的逆否命题为“已知x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”是真命题，所以原命题也是真命题，即③是真命题．

答案：①③

13．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________．

解析：由x2＞1，得x＜－1或x＞1．又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x2＞1”，但由“x2＞1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1．

B．(0，5) D．(5，＋∞)

答案：－1 14．设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件：

①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；

②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；

③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；

④n⊥α，n⊥β，m⊥α．

其中为m⊥β的充分条件的是________．(将正确的序号都填上) 解析：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l⇒/m⊥β；

②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β⇒m⊥β；

③α⊥γ，β⊥γ⇒α与β可能相交也可能平行，故α⊥γ，β⊥γ，m⊥α⇒/m⊥β；

④由n⊥α，n⊥β得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β．

答案：②④

三、解答题

15．写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解：逆命题：若x2－5x＋6＝0，则x＝2，是假命题；

否命题：若x≠2，则x2－5x＋6≠0，是假命题；

逆否命题：若x2－5x＋6≠0，则x≠2，是真命题．

16．指出下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

1π(2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞．

26解：(1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．

ππ，π时，0，时，(2)因为A∈(0，π)时，sin A∈(0，1]，且A∈y＝sin A单调递增，A∈221ππ1y＝sin A单调递减，所以sin A＞⇒A＞，但A＞⇒/sin A＞．所以p是q的充分不必要条2662件，q是p的必要不充分条件．

117．已知p，q为实数，若方程x2＋2px－q＝0没有实数根，则p＋q＜．

4(1)判断上述命题的真假，并说明理由；

(2)试写出上述命题的逆命题，判断其真假，并说明理由．

解：(1)原命题是真命题．

由题意得，方程的判别式Δ＝4p2＋4q＜0，即q＜－p2．

111p－＋≤，

所以p＋q＜p－p＝－244221所以p＋q＜．

41(2)逆命题为“已知p，q是实数，若p＋q＜，则方程x2＋2px－q＝0没有实数根”．

41逆命题是假命题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q＜，但原方程有实数根x＝－1．

418．设函数y＝lg(－x2＋4x－3)的定义域为A，函数y＝(1)当m＝2时，求A∩B；

(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：(1)由题意得－x2＋4x－3＞0，解得1＜x＜3，

所以A＝(1，3)，

2又函数y＝在区间(0，m)上单调递减，

x＋122所以y∈m＋1，2，即B＝m＋1，2，

2，x∈(0，m)的值域为B．

x＋12当m＝2时，B＝3，2，

所以A∩B＝(1，2)．

(2)首先要求m＞0，

因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，

2所以BA，即m＋1，2(1，3)，

2从而≥1，解得0＜m≤1．

m＋1