3.2.1 几个常用函数的导数优秀课堂实录

3.2.1几个常用函数的导数 一、教学目标

1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数；

2.

利用公式解决简单的问题. 二、教学重点和难点

1．重点：推导几个常用函数的导数；

2．难点：推导几个常用函数的导数. 三、教学方法

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆.

四、教学过程

（一）复习

1、函数在一点处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤. （二）新课

推导下列函数的导数

1.

f(x)c

yf(xx)f(x)cc0，

解：xxxyf'(x)limlim00

x0xx02. 求f(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1，

xxxy'lim11

f(x)limx0xx0解：y'1表示函数yx图象上每一点处的切线的斜率都为1.若yx表示路程关于时间的函数，则y'1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 思考：(1)从求yx，y2x，y3x，y4x的导数如何来判断这几个函

1

数递增的快慢？

(2)函数ykx(k0)增的快慢与什么有关？

可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 3. 求函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x22xx，

解：

xxxy'f'(x)limylim(2xx)2x。

x0xx0y'2x表示函数yx2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：

（1）当x<0时，随着

x的增加，yx2减少得越来越慢；

（2）当x>0时，随着

x的增加，yx2增加得越来越快. 4. 求函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxxx(xx)12解：

，

xxxx(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx

思考：（1）如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

y'f'(x)lim

kf'(1)1，所以其切线方程为yx2

（2）改为点（3，3），结果如何？

（3）把这个结论当做公式多好呀，既方便，又减少了复杂的运算过程. （三）例题

例1. 试求函数yf(x)x的导数. 解：

yf(xx)fx()xx　　xxxx(xxx)(xxx)

x(xxx)1　＝(xxx)

2

y'f'(x)limy11

limx0xx0xxx2x

例2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程. 解：y'2x，设切点为M(x0,y0)，则y'因为PQ的斜率kxx02x0.

411,又切线平行于PQ，

21111所以k2x01，即x0，切点M(,)，

224所求直线方程为4x4y10. （四）练习

1.如果函数f(x)5，则f'(1)（

）

A. 5

B. 1

C.

0

D.不存在

2.曲线y2x21在点（0，1）的切线斜率是（

）

A.-4

B.0

C.2

D. 不存在

11

3.曲线yx2在点(1,)处切线的倾斜角为（

）

225

A. 

B. 1

C.

D.

444答案：

1.C

2.B

3.C （五）小结

1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用. （六）作业

1.

P85 ，A组

1 112.求双曲线y过点(2,)的切线方程. x2

3