2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系板书设计及意图

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

教学目标：

1、知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角定理；

（5）理解并掌握异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法

（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；

（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。

3、情感态度与价值观

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

重点：

1、异面直线的概念；

2、公理4及等角定理。

难点：

异面直线所成角的计算。

教学过程

一、复习回顾：

1、平面有哪些性质？（无限延展性）

（1）同一平面内的两条直线位置关系有哪些？（平行、相交）

（2）空间的两条直线有哪些位置关系呢？

二、创设情景、导入课题

通过身边诸多实物（如：正方体、正四面体（学生自已做的几何体等）），引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

三、师生互动、新课讲解

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

相交：同一平面内，有且只有一个公共点

共面直线：

平行：同一平面内，没有公共点

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

例1：判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?

mmlllm

1 2 3

mmmlll 4 5 6 2、平行公理：

在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？

组织学生观察长方体模型并思考：

长方体ABCD-A′B′C′D′中，

BB′∥AA′，DD′∥AA′，

BB′与DD′平行吗？（平行）

再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

数学符号语言表示：

共同讨论得出符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b c∥b 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4的作用：用于判断空间两条直线平行。

例2（课本P45例2）：如图，已知空间四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH是什么四边形，并证明你的结论。

证明：连结BD ∵E、H分别是AB、AD的中点

∴EH是△ABD的中位线

HEDBFGCAADBCA'D'B'C'=>a∥c 1BD 21同理，FG∥BD，且FG=BD 2∴EH∥BD，且EH=∴EH∥FG，且EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形

探究：在例2中，若加上条件AC=BD，那么这 个四边形是什么四边形？（菱形）

例3：如右图：长方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是C′D′、 CC′的中点，那么A′E与BF的位置关系怎样？

DABA'D'EB'FCC'

3、等角定理：

平几中的等角定理在空间中结论是否依然成立？

让学生观察、思考：

∠ADC与∠A′D′C′、∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

（∠ADC = ∠A＇D＇C＇，∠ADC + ∠A′B′C′ = 180）

师生共同归纳出如下定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

0

结论：

① a＇与b＇所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②

两条异面直线所成的角θ∈(0， 〕；

2③

当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④

两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤

计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

例4：（1）如图，观察长方体ABCD-A′B′C′D′，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？

（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？

（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

例5（课本P47例3）如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′。

（1）哪些棱所在直线与直线B A′是异面直线？

（2）直线B A′与CC′的夹角是多少？

（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？

课堂练习：（课本P48练习NO：1；2）

四、课堂小结，巩固反思：

（1）本节课学习了哪些知识内容？

（2）计算异面直线所成的角应注意什么？

（3）通过本节课的学***收获是什么？

ADCBA＇D'A'B'C'DABCＤ＇Ｂ＇Ｃ＇

五、布置作业：

A组：

1、（课本P51习题2.1A组第3题）（做在书上即可）

2、（课本P51习题2.1A组第4题）（做在书上即可）

3、（课本P51习题2.1A组第5题）（做在书上即可）

4、（1）分别在两个平面内的两条直线的位置关系是_______。(相交，平行、异面) （2）不平行的两条直线的位置关系是_________（相交或异面）

（3）直线a和b是异面直线，直线c//a，那么b与c的位置关系是_____（相交或异面）

（4）两条直线没有公共点，它们的位置关系是______（平行或异面）

B组：

1、（课本P51习题2.1B组第1题）（做在书上即可）

2.一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ D ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面

3.已知a、b是异面直线，c∥a，那么c与b（C） A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C. 不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

4、如图，正方体ABCD-EFGH中如图，正方体

ABCD-EFGH中O为侧面ADHE的中心，求

(1)BE与CG所成的角？

(2)FO与BD所成的角？

解：(1)如图：∵CG∥BF，

∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

00 又

 BEF中∠EBF =45

，所以BE与CG所成的角为45（2）连接FH，

∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB ∴四边形HFBD为平行四边形，

∴HF∥BD，∴∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角。

连接HA、AF，易得FH=HA=AF，∴△AFH为等边△，

0 0 又依题意知O为AH中点, ∴∠HFO=30即FO与BD所成的夹角是30注4：求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”

5、如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =23, AD =23, AE = 2 H E F G D A B C H G E (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? F (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 00 D C 解答：(1) 45 (2) 60A B

6、(tb2601303)正四面体ABCD中，已知E、F、G、H分别是AC、BC、BD、AD的中点，求证：四边形EFGH是正方形。