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导数背景下的恒成立与存在性问题

一、若对x，af(x)恒成立，则只需af(x)max即可；

若对x，af(x)恒成立，则只需af(x)min即可；

例1.

已知函数f(x)lnx率k

【练习】

1.已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，设f(x)在[1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

2.已知函数f(x)x22ax1，g(x)成立，求实数a的取值范围. a(0x3)，若以其图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜x1恒成立，求实数a的取值范围. 2a，其中a0，x0．对任意x[1,2]，都有f(x)g(x)恒x

3.当x1,2时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是

.

4.

不等式

5.不等式sin2x4sinx1a0恒成立，则a的取值范围是

axx4x在x0,3内恒成立，求实数a的取值范围. - 1 -

二、若x，满足不等式af(x)，则只需af(x)min即可；

若x，满足不等式af(x)，则只需af(x)max即可；

例2：已知函数f(x)ax22ax，g(x)ex，若在(0,)上至少存在一个实数x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围.

【练习】

已知函数fxlnx12ax2xa0存在单调递减区间，求a的取值范围

2

三、若对x1,x2，使得不等式f(x1)f(x2)a（a为常数）恒成立，则只需f(x)maxf(x)mina即可

例3：已知函数f(x)alnx12x(a1)x(1ae).证明：对于x1,x21,a，恒有2f(x1)f(x2)1成立.

【练习】

已知f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明对任意x1、x2∈(－1，1)，不等式｜f(x1)－f(x2)｜＜4恒成立．

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四、若x1,x2I，满足方程f(x1)g(x2)，则只需两函数值域交集不空即可. 111x(x0,)362，函数g(x)asinx2a2(a0),若例4：已知函数f(x)32x16(x,1)x12x1,x20,1，使得f(x1)g(x2)成立，试求实数a的取值范围.

五、若对x11总x22使得f(x1)g(x2)成立，则只需f(x)值域g(x)值域即可

4x27,g(x)x33a2x2a(a1)对x10,1总x20,1使得例5：已知函数f(x)2xf(x1)g(x2)成立，试求实数a的取值范围.

六、若对x11，x22使得不等式f(x1)g(x2)恒成立，则只需f(x)maxg(x)min即可

例6：已知两个函数f(x)7x228xc,g(x)2x34x240x，若对x13,3，x23,3，都有不等式f(x1)g(x2)恒成立，求实数c的取值范围.

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七、若对x11，x22满足不等式f(x1)g(x2)，则只需f(x)ming(x)max即可

例7：已知两个函数f(x)x33x29xc,g(x)x22x1，若对x12,6，x22,6，使得不等式f(x1)g(x2)成立，求实数c的取值范围.

八、若对x11，总x22，使得f(x1)g(x2)成立，则只需f(x)ming(x)min即可

例8：已知两个函数f(x)x82lnx,g(x)e2xe2xexexk，若对x11,4，总xx2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围.

九、若对x11，总x22，使得f(x1)g(x2)成立，则只需f(x)maxg(x)max即可

例9：已知两个函数f(x)lnx13x1(xR),g(x)x22xb，若对x1(0,2)，总44xx21,2，使得f(x1)g(x2)成立，求实数b的取值范围.

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