3.1.3 导数的几何意义教案教学设计

第二讲

导数的几何意义及其应用

一．课前测试：（40分）

sin x11. (2015·湖南卷)曲线y＝－在点M(,0)处的切线的斜率为(

)．

sin x＋cos x241122A．－

B.

C．－

D.

2222

2.【2015宁夏育才中学高二下学期期末】设a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导数是f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为（

）

A．y2x

B．y3x

C．y3x

D．y4x

3.（2016江西卷）若曲线yx1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.

4.若fx在R上可导，fxx22f1x3，则函数fx在x0处的切线方程是_____________________________．



二．学习目标：．

1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念. 12.能根据导数定义，求函数y＝C

(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝x的导数．熟记基本初等函数xmxx的导数公式(c，x (m为有理数)，sin x，cos x，e，a，ln x，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．

三．重点难点：

1．利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重难点) 2.求曲线上某点处的切线方程．(重点) 3．导数的几何意义的综合应用．(重难点) 四．知识梳理：

1、导数的几何意义：导数f'(x0)是函数yf(x)上在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为yf(x0)f'(x0)(xx0)。注意在某点处的切线和过某点处的切线的区别。

2、初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x 3．导数的四则运算法则

法则

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝nxn1

－f′(x)＝cos x

f′(x)＝－sin x

f′(x)＝axln a(a>0，且a≠1) f′(x)＝ex

1f′(x)＝(a>0，且a≠1) xln a1f′(x)＝

x语言描述

两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）

[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 两个函数的积德导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数

'两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)≠0)

g(x)＝2上分母的导数，再除以分母的平方

g(x)4．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作yf(g(x)). 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′. 复合函数的求导法则

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 五．典例剖析：

考点

一 求函数曲线的切线

【例1】（1）

(2016北京房山模拟)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于(

)

(A)错误！未找到引用源。

2

(B)3

(C)4

(D)5 18（2）已知曲线y＝x3上一点P(2，)，如右图，求：

33(1)点P处的切线的斜率；

(2)点P处的切线方程．

【例2】

已知曲线y134x，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

33（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；

（3）求斜率为4的曲线的切线方程..

【综合点评】“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点. 规律方法

求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y＝f(x)上某点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)---直接法；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解----设切点法. 【变式练习】（1）(2016·武汉调研)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为________.

（2）已知曲线方程为y＝x2，(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；

(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．

考点二 已知切线方程求切点坐标

【例3】

在曲线y＝x2上过哪一点的切线，

(1)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(2)倾斜角为135°.

规律方法

解此类题的步骤为：①求导函数f′(x)；②设切点坐标(x0，y0)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．

【变式练习】

若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.

【例4】

（1）. 若函数f(x)＝ex＋ae点的横坐标是(

) ln 2A．－

2

（2）. 已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(

) A．y＝－3x

（3）

下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是(

) (A)f(x)=ex

（4）. 已知点P在曲线y=

2（5）．（

2013江苏卷）抛物线yx在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部－x3的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切2

ln 2B．－ln 2

C.

2

D．ln 2

B．y＝－2x

C．y＝3x

D．y＝2x

(B)f(x)=x3

(C)f(x)=ln x

(D)f(x)=sin x 4上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，求a的取值范围。

xe1与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x2y的取值范围是__________.

(6)（2016年高考新课标Ⅲ卷）已知fx为偶函数，当x0错误！未指定书签。时，f(x)ln(x)3x错误！未指定书签。，则曲线yfx在点(1,3)处的切线方程是_______________．

(7)、（2016年高考新课标Ⅱ卷理）若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b ．

【变式练习】（1）. 设P为曲线C:yx2x3上的点，求曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为2[0,]，则点P横坐标的取值范围为（

）

411A、[1,]

B、[-1,0]

C、[0,1]

D、[,1]

22

x32（2）. 设点P是曲线y＝－x－3x－3上的一个动点，则以3点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．

P为切

考点三 利用导数的几何意义判断函数的变化情况

【例5】（1）（课本例2）如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t6.5t10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

（2）设f

′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(

) 2

[

规律方法

当k＝f ′(x) >0时，函数f (x)图象是上升的，且k越大，上升越快；当k＝f ′(x) <0时，函数f (x)图象是下降的，且k越小，下降越快．

【变式练习】

如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象描述比较曲线f(t)在t1、t2附近的变化情况．

考点四 导数几何意义的综合应用

【例6】已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．

[点评]

利用两直线垂直，可求l2的斜率，l2为曲线的切线，在不知切点坐标的情况下，一般先设切点的坐标再求解．

【变式练习】

（1）若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标．

（2）曲线y

＝x(x

＋1)(2－x)有两条平行于直线y

＝x的切线，求此二切线之间的距离．

（3）

求过曲线y＝sin x上点P(

（4）在函数ylnx的图象上找一点，使它到直线yx2的距离最小。

1,)且与过这点的切线垂直的直线方程．

62六、课后作业

21．已知函数f(x)在R上满足f2x2x7x6，则曲线yfx在1,f(1)处的切线方程是(

) (A)y2x1

22. 函数f(x)2lnxxbxa

(b0,aR)在点b,f(b)处的切线斜率的最小值是（

）A.22

(B)yx

(C)y3x2

(D)y2x3

B.2

C.3

D. 1

x2123．（2015山东卷）抛物线C1:yx(p0)的焦点与双曲线C2:y21的右焦点的连线交C1于32p第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=（

）

A．332343B．C．D．

16

8

3

34．（2016秋•泗阳县校级期末）已知函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是

．

5.(2016·武汉调研)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为________.

6.（15年新课标2卷）已知曲线yxlnx在点1,1

处的切线与曲线yaxa2x1

相切,则2a=

．

7.（2015广东卷）若曲线yaxlnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a____________.

8．若曲线y2x2的一条切线l与直线x4y80垂直，则切线l的方程为

.

9．(2016·兰州一模)已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围为________.

10.（2016年高考新课标Ⅲ卷文）已知fx为偶函数，当x0

时，f(x)e在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.

x12x，则曲线yfx

答案：

一．课前测试：（40分）

sin x11. (2015·湖南卷)曲线y＝－在点M(,0)处的切线的斜率为(

)．

sin x＋cos x241122A．－

B.

C．－

D.

2222解析

本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．

y′＝cos xx＋cos x－sin xx＋cos xx－sin x2＝1π1，把x＝代入得导数值为.答案

B 421＋sin 2x2.【2015宁夏育才中学高二下学期期末】设a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导数是f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为（

）

A．y2x

B．y3x

C．y3x

D．y4x

【答案】A

3.（2016江西卷）若曲线yx1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________. 【答案】2

4.若fx在R上可导，fxx22f1x3，则函数fx在x0处的切线方程是_____________________________．

答案：4xy30

四．典例剖析：

题型一

求函数曲线的切线

例1、（1）

(2016北京房山模拟)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于(

A

)

(A)错误！未找到引用源。

(B)3

(C)4

(D)5

解析:直线过点(0,3)，(4,5)，所以直线斜率k用源。f41错误！未找到引用源。，2即错误！未找到引1

218（2）已知曲线y＝x3上一点P(2，)，如右图，求：

33(1)点P处的切线的斜率；

(2)点P处的切线方程．

1解：(1)由y＝x3，∴y′＝x2，y′|x＝2＝22＝4.∴点P处的切线的斜率等于4. 38(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0. 3例2

已知曲线y134x，

33（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；

（3）求斜率为4的曲线的切线方程.. 【答案】（1）4xy40.(2) 4xy40或xy20

(3) 4xy40和12x3y200. 【综合点评】“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点. 规律方法

求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y＝f(x)上某点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)---直接法；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解----设切点法. 课堂练习：（1）(2016·武汉调研)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为________. 解

f′(x)＝3x2＋6x. 当(0，0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0. 2当(0，0)不为切点时，设切点为P(x0，x30＋3x0)，则切线方程为

22y－(x30＋3x0)＝(3x0＋6x0)(x－x0)，

232又点(0，0)在切线上，所以－x30－3x0＝－3x0－6x0，

3解得x0＝0(舍去)或x0＝－，故切线方程为9x＋4y＝0.答案

y＝0或9x＋4y＝0 2（2）已知曲线方程为y＝x2，

(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；

(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．

[解]

(1)∵A(2,4)在y＝x2上，由y＝x2得y′＝2x，∴y′|x＝2＝4. 因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2得y′＝2x，∴y′|x＝x0＝2x0，

5－y0由已知kPB＝2x0，即＝2x0，将y＝x代入上式整理，得x0＝1或x0＝5，

3－x00∴切点坐标为(1,1)，(5,25)，∴所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.

题型二

已知切线方程求切点坐标

例3

在曲线y＝x2上过哪一点的切线，

(1)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(2)倾斜角为135°.

[分析]

先设出切点坐标，

再由切线的斜率列方程即可求出．

[解]

设y＝f(x)，则f′(x)＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．

13939(1)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，故y0＝，即P(－，)．

324241111(2)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，

故y0＝，即P(－，)．

2424规律方法

解此类题的步骤为：①求导函数f′(x)；②设切点坐标(x0，y0)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．

课堂练习：

若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.

解析：设切点为(x0,1)，∵f′(x0)＝4x0－4，由题意，知4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点为(1,1)．

∴1＝2－4＋p. ∴p＝3. 3－【例4】

（1）. 若函数f(x)＝ex＋aex的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切2点的横坐标是(

) ln 2A．－

2【答案】D （2）. 已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(

) A．y＝－3x

B．y＝－2x

C．y＝3x

D．y＝2x

ln 2B．－ln 2

C.

2

D．ln 2 解析：选B

∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2. ∵f′(x)为偶函数，∴a＝0.∴f′(x)＝3x2－2.∴f′(0)＝－2.∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x. （3）

下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是(

) (A)f(x)=ex

(B)f(x)=x3

(C)f(x)=ln x

(D)f(x)=sin x 选D.设切点的横坐标为x1,x2,则存在无数对互相垂直的切线,即f′(x1)·f′(x2)=-1有无数对x1,x2使之成立, 对于A由于f′(x)=ex>0,所以不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立; 对于B由于f′(x)=3x2≥0,所以也不存在f′(x1)·f′(x2)=-1成立; 对于C由于f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=>0;

对于D,由于f′(x)=cosx,所以f′(x1)·f′(x2)=cosx1·cosx2, 若x1=2mπ,m∈Z,x2=(2k+1)π,k∈Z,则f′(x1)·f′(x2)=-1恒成立. 4上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，求a的取值范围。

xe14ex14解析:函数导数yx，

21(e1)exx2e13x,). 因为ex2，所以y[1,0)，所以[e4（4）. 已知点P在曲线y=2（5）．（

2013江苏卷）抛物线yx在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x2y的取值范围是__________.

【答案】2,21

(6)（2016年高考新课标Ⅲ卷理）已知fx为偶函数，当x0错误！未指定书签。时，f(x)ln(x)3x错误！未指定书签。，则曲线yfx在点(1,3)处的切线方程是_______________．

【答案】y2x1【解析】：当x0时，x0，则f(x)lnx3x．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)lnx3x，所以f(x)y32(x1)，即y2x1．

13，则切线斜率为f(1)2，所以切线方程为x(7)、（2016年高考新课标Ⅱ卷理）若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b ．

【答案】1ln2

【课堂练习】（1）. 设P为曲线C:yx2x3上的点，求曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为2[0,]，则点P横坐标的取值范围为（

）

411B、[1,]

B、[-1,0]

C、[0,1]

D、[,1]

22x32（2）. 设点P是曲线y＝－x－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切3线方程是__________________．

【答案】12x＋3y＋8＝0题型三

利用导数的几何意义判断函数的变化情况

例5（1）（课本例2）如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，

即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减．

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

（2）设f

′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(

)

[分析]

由f ′(x)图象知，在(－∞，0)上f

′(x) >0，在(0,2)上，

f ′(x) <0，在(2，＋∞)上f(x)>0，由导数几何意义知：f(x)在(－∞，0)上是上升的，在(0,2)上是下降的，在(2，＋∞)上是上升的，满足题意的只有C. 规律方法

当k＝f ′(x) >0时，函数f (x)图象是上升的，且k越大，上升越快；当k＝f ′(x) <0时，函数f (x)图象是下降的，且k越小，下降越快．

课堂练习：

如图表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象描述比较曲线f(t)在t1、t2附近的变化情况．

解：分别过点(t0，f(t0))，(t1，f(t1))，(t2，f(t2))作f(x)的切线l0，l1，l2，可以看出，f ′(t0)＝0，f ′(t1)<0，f ′(t2)<0，且f(t1)>f(t2)，∴f(t)在t2处比在t1处下降快．

题型四

导数几何意义的综合应用

例6已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．

[解]

(1)∵y′＝2x＋1，∴y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为

2y－(x0＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．

2122∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－.∴直线l2的方程为y＝－x－.

3391y＝3x－3x＝6(2)解方程组得

1225y＝－x－，39y＝－.2221522125又直线l1、l2与x轴交点分别为(1,0)、(－，0)，∴所求三角形面积S＝×|－|×(1＋)＝. 322312[点评]

利用两直线垂直，可求l2的斜率，l2为曲线的切线，在不知切点坐标的情况下，一般先设切点的坐标再求解．

课堂练习：

（1）若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标．

解：由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，过点P的切线与直线y＝4x－5平行．

1x0＝28x0＝41设P(x0，y0)则y′＝8x，由得故所求的点的坐标为P(，1)．

22y0＝4x0，y0＝1.



（2）曲线y

＝x(x

＋1)(2－x)有两条平行于直线y

＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y

＝－x

3 ＋x

2 ＋2 x，y′＝－3 x

2＋2 x

＋2

令y′＝1即3 x2－2 x

－1＝0，解得

x

＝－于是切点为P（1，2），Q（－1或x

＝1．

3114，－），

327过点P的切线方程为，y－2＝x－1即

x－y＋1＝0．

114|1|162．

显然两切线间的距离等于点Q

到此切线的距离，故所求距离为327＝2721（3）

求过曲线y＝sin x上点P(,)且与过这点的切线垂直的直线方程．

62解：(1)∵y＝sin x，∴y′＝cos x，

(2分)

曲线在点P(2，

3(4分) 1π3,)处的切线斜率是：y′|x＝π＝cos＝. 66262∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－123π故所求的直线方程为y－＝－(x)，即2x＋3y－－＝0. 22336（2）求过点(1，－1)与曲线(6分) f(x)x32x相切的直线方程。

（4）在函数ylnx的图象上找一点，使它到直线yx2的距离最小。

六、课后作业

21．已知函数f(x)在R上满足f2x2x7x6，则曲线yfx在1,f(1)处的切线方程是(

C

)

(A)y2x1

(B)yx

(C)y3x2

(D)y2x3

解析:令x1得f11，由f2x2x27x6，两边求导可得

令x1可得f13，f13，所以所求切线方程为y13x1，f(2x)(2x)4x7，即y3x2. 22. 函数f(x)2lnxxbxa

(b0,aR)在点b,f(b)处的切线斜率的最小值是（

）

A.22

B.2

C.3

D. 1

x2123．（2015山东卷）抛物线C1:yx(p0)的焦点与双曲线C2:y21的右焦点的连线交C1于32p第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=（

）

A．3

16B．3

8C．23

3D．43

3【答案】D

4．（2016秋•泗阳县校级期末）已知函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是

．

【解答】解：由题意，f′（2）=1，曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是y﹣0=x﹣2，

即x﹣y﹣2=0，故答案为：x﹣y﹣2=0．

5.(2016·武汉调研)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为________. 解

f′(x)＝3x2＋6x.当(0，0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0. 2当(0，0)不为切点时，设切点为P(x0，x30＋3x0)，则切线方程为

22y－(x30＋3x0)＝(3x0＋6x0)(x－x0)，

232又点(0，0)在切线上，所以－x30－3x0＝－3x0－6x0，

3解得x0＝0(舍去)或x0＝－，故切线方程为9x＋4y＝0.答案

y＝0或9x＋4y＝0 26.（15年新课标2卷）已知曲线yxlnx在点1,1

处的切线与曲线yax2a2x1

相切,则a=

．

【答案】8【解析】：由y11可得曲线yxlnx在点1,1处的切线斜率为2,故切线方程为y2x1,x22与yaxa2x1

联立得axax20,显然a0,所以由

a28a0a8. 7.（2015广东卷）若曲线yax2lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a____________. 【答案】1

28．若曲线y2x2的一条切线l与直线x4y80垂直，则切线l的方程为

. 解析:设切点为(x0,y0)，y4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2, 所以切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0. 答案:4x-y-2=0 9．(2016·兰州一模)已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围为________. 11解析

由已知得f′(x)＝ex－m.若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则ex－m＝－有解，即m＝ex＋.

∵ee11，＋∞

ex＞0，∴m＞.即m的取值范围为ee10（2016年高考新课标Ⅲ卷文）已知fx为偶函数，当x0

时，f(x)ex1x，则曲线yfx在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】y2x