1.1.2 简单组合体的结构特征评课稿

1．1 空间几何体的结构

1．1.1

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[学习目标]

1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．

2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算．

[知识链接]

观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？

答

(1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、(9)为棱柱；(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥．

[预习导引]

1．空间几何体

(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．

(2)多面体与旋转体

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多

1

边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．

2．几种常见的多面体

多面体

定义

图形及表示

相关概念

底面(底)：两个互相平行的有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个棱柱

四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

面．

如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′

侧面：其余各面．

侧棱：相邻侧面的公共边．

顶点：侧面与底面的公共顶点．

底面(底)：多边形面．

有一个面是多边形，其余各面棱锥

都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

S－ABCD

如图可记作，棱锥侧面：有公共顶点的各个三角形面．

侧棱：相邻侧面的公共边．

顶点：各侧面的公共顶点．

上底面：原棱锥的截面．

下底面：原棱锥的底面．

用一个平行于底面的平面去截棱台

棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.

ABCD－A′B′C′D′

如图可记作：棱台顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.

2 侧面：其余各面

侧棱：相邻侧面的公共边．

要点一

棱柱的结构特征

例1

下列关于棱柱的说法：

(1)所有的面都是平行四边形；

(2)每一个面都不会是三角形；

(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；

(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．

其中正确说法的序号是________．

答案

(3)(4) 解析

(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；

(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；

(3)正确，由棱柱的定义易知；

(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．

规律方法

棱柱的结构特征：

(1)两个面互相平行；

(2)其余各面是四边形；

(3)相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．

跟踪演练1

下列关于棱柱的说法错误的是(

) A．所有的棱柱两个底面都平行

B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行

C．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱

D．棱柱至少有五个面

答案

C 解析

对于A，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱．

3

要点二

棱锥、棱台的结构特征

例2

下列关于棱锥、棱台的说法：

(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；

(3)棱锥的侧面只能是三角形；

(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．

其中正确说法的序号是________．

答案

(2)(3)(4) 解析

(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．

规律方法

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．

(2)直接法：

定底面

看侧棱

跟踪演练2

棱台不具有的性质是(

) A．两底面相似

C．侧棱长都相等

4 棱锥

只有一个面是多边形，此面即为底面

相交于一点

棱台

两个互相平行的面，即为底面

延长后相交于一点

B．侧面都是梯形

D．侧棱延长后相交

于一点

答案

C 解析

由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．

要点三

多面体的表面展开图

例3

画出如图所示的几何体的表面展开图．

解

表面展开图如图所示：

规律方法

多面体表面展开图问题的解题策略：

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

跟踪演练3

(2014·九江高一检测)下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是(

)

答案

C

5

解析

将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体.

1．三棱锥的四个面中可以作为底面的有(

) A．1个

C．3个

答案

D 解析

由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D. 2．棱柱的侧面都是(

) A．三角形

C．五边形

答案

B 解析

由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．

3．(2014·贵港高一检测)如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(

) B．四边形

D．矩形

B．2个

D．4个

A．①③

C．③④

答案

C 解析

可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．

4．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．

B．②④

D．①②

6

答案

①③④

⑥

⑤

解析

结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．

5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．

答案

四棱柱

解析

由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．

1．棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．

2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．

1．1.2

圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征

[学习目标]

1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．

2．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

[知识链接]

7

ACBC(1)如图①，在直角三角形ABC中，sin B＝，cos B＝. ABAB(2)如图②，圆内接三角形ABC，AC过圆心，则∠B＝90°.

①

②

③

ADAE(3)如图③，在△ABC中，DE∥BC，则＝. DBEC[预习导引]

1．旋转体

(1)圆柱

①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．

②相关概念(图1) ③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.

(2)圆锥

①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．

②相关概念(图2) ③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO. (3)圆台

①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．

②相关概念(图3)

8

③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.

(4)球

①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．

②相关概念(图4) ③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O. 2．简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

要点一

旋转体的结构特征

例1

判断下列各命题是否正确

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．

解

(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．

(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．

9

(3)正确．

(4)错．应为球面．

规律方法

1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．

2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．

跟踪演练1

下列叙述中正确的个数是(

) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

A 解析

①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．故四句话全不正确．

要点二

简单组合体的结构特征

例2

如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

解

(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示．

(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(2)所示．

(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．

10

规律方法

1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．

2．必要时作模型培养动手能力．

跟踪演练2

如图为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？

解

奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．

要点三

有关几何体的计算问题

例3

如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

解

设圆台的母线长为l cm，由截得圆

台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.

过轴SO作截面，如图所示．

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. ∴∴SA′O′A′＝. SAOA3r1＝＝. 3＋l4r411

解得l＝9(cm)，

即圆台的母线长为9 cm. 规律方法

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

跟踪演练3

(2014·德阳高一检测)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

解

如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm. (1)由勾股定理得h＝122－5－22＝315(cm)．

x－122(2)由三角形相似得：＝，解得x＝20(cm)．

x5答：(1)圆台的高为315 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

1．下列几何体是台体的是(

)

答案

D 解析

台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在

12

于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．

2．圆柱的母线长为10，则其高等于(

) A．5

C．20

答案

B 解析

圆柱的母线长和其高相等．

3．下面几何体的截面一定是圆面的是(

) A．圆台

C．圆柱

答案

B 解析

截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．

4．(2014·铜川高一检测)下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是(

) A．①②

C．①③

答案

D 解析

①③错误，②④正确．

5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 答案

103 解析

h＝20cos 30°＝103 (cm)．

B．②③

D．②④

B．球

D．棱柱

B．10

D．不确定

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．

3．处理组合体问题常采用分割思想．

13

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．

1.2

空间几何体的三视图和直观图

1．2.1

中心投影与平行投影

1．2.2

空间几何体的三视图

[学习目标]

1．了解中心投影和平行投影．

2．能画出简单空间图形的三视图．

3．能识别三视图所表示的立体模型．

[知识链接]

1．棱柱的结构特征

(1)上下底面平行．(2)侧面是平行四边形．(3)侧棱相互平行．

2．棱锥的结构特征

(1)底面是多边形．(2)侧面是共顶点的三角形．

3．棱台的结构特征

(1)上下底面平行．(2)侧面是梯形．(3)侧棱延长线相交于一点．

4．圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．

[预习导引]

1．投影

(1)投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

(2)投影的分类

14

(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：

①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．

2．三视图

(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影．

(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高一样，俯视图与正视图长一样，侧视图与俯视图宽一样．

要点一

中心投影与平行投影

例1

下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为(

)

15

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确．

规律方法

判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．

跟踪演练1

下列命题中，正确的是(

) A．矩形的平行投影一定是矩形

B．梯形的平行投影一定是梯形

C．两条相交直线的投影可能平行

D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

答案

D 解析

平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确．两条相交直线的投影不可能平行，即C错．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．故选D. 要点二

画空间几何体的三视图

例2

画出图中正四棱锥和圆台的三视图．(尺寸不作严格要求)

解

正四棱锥的三视图如图所示：

圆台的三视图如图所示：

16

规律方法

画三视图应遵循的原则和注意事项：

(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．

(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．

跟踪演练2

将本题中的正四棱锥和圆台分别换成正三棱柱和圆锥(如图)，如何画出它们的三视图？(尺寸不作严格要求)

解

正三棱柱的三视图如下图所示：

圆锥的三视图如下图所示：

要点三

由三视图还原空间几何体

例3

根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．

17

解

图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：

规律方法

由三视图还原空间几何体的步骤：

跟踪演练3

若将本例(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图．

解

由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如右图：

18

1．下列说法正确的是(

) A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关

B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关

C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形

答案

C 解析

对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C. 2．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有(

)

A．L，K

C．K

答案

A 解析

N和L，K属中心投影，C属平行投影．

3．(2014·安庆高一检测)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(

) A．球

C．正方体

答案

D 解析

不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D. 4．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．

19 B．C

D．L，K，C

B．三棱锥

D．圆柱

答案

②⑤

解析

线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．

5．(2014·晋城高一检测)如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________．

答案

正四棱锥

解析

由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥．

1．理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．

2．空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力.

1．2.3

空间几何体的直观图

[学习目标]

20

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．

2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．

[知识链接]

1．一般地，在一个几何体的三视图中，侧视图与正视图高一样；俯视图与正视图长一样；侧视图与俯视图宽一样．

2．画三视图是用平行投影的方法画出来的．

13．梯形的面积S＝(a＋b)h(其中a、b为两底长，长为高)．

2[预习导引]

1．直观图的概念

(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．

(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

3．立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．

要点一

画水平放置的平面图形的直观图

例1

画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．

21

解

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中2点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

规律方法

1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．

2．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成．

跟踪演练1

用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图．

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，2连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

要点二

由直观图还原平面图形

例2

如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(

)

22

A.22a

B．22a2

C．a2

D．2a2

4答案

B 解析

由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a2. 规律方法

由直观图还原平面图形关键有两点：

(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；

(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．

跟踪演练2

(2014·延安高一检测)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为(

)

A．2

B.2

C．22

D．4 答案

D 解析

如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，

原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的2倍，

由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的22倍，梯形O′A′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4. 要点三

空间几何体的直观图

例3

如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图．

23

解

(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．

(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，

并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高．

(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．

规律方法

1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．

2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”

跟踪演练3

画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

解

画法：(1)画轴．

画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．

(2)画底面．

以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.

24

(3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图(2)．

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(

) A．原来相交的仍相交

B．原来垂直的仍垂直

C．原来平行的仍平行

D．原来共点的仍共点

答案

B 解析

根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．

2．关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是(

) A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图可能不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

答案

B 3.(2014·聊城高一检测)如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为(

) A．平行四边形

B．梯形

C．菱形

D．矩形

答案

D 解析

因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．

4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．

答案

10 解析

由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10. 5.(2014·邵阳高一检测)如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．

25

答案

6 解析

由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB1＝OA·OB＝6. 2

1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形．

2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

1.3

空间几何体的表面积与体积

1．3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

[学习目标]

1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法．

2．了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．

[知识链接]

1．棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面是三角形；棱台的侧面形状是梯形．

2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆．

13．三角形的面积S＝ah(其中a为底，h为高)，圆的面积S＝πr2(其中r为半径)，扇21形的面积公式S＝lr(l为扇形的弧长，r为扇形的半径)．

24．长方体的体积V＝abc(其中a，b，c为长、宽、高)．

[预习导引]

1．多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．

26

2．旋转体的表面积

名称

图形

公式

底面积：S底＝2πr2 圆柱

侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πrl＋2πr2

底面积：S底＝πr2 圆锥

上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2

圆台

3．体积公式

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 1(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 31(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋S′S＋S)h. 3

要点一

空间几何体的表面积

例1

如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．

侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：

S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 侧面积：S侧＝πrl

表面积：S＝πrl＋πr2

解

以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝52＋16－42＝13(cm)．

∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．

27

规律方法

1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．

2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．

跟踪演练1

(2014·泸州高一检测)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积．

解

先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D. 因为BC＝a，SD＝SB2－BD2＝a23a2－＝22a. 1133所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2. 2224因此，四面体S－ABC的表面积S＝4×要点二

空间几何体的体积

例2

三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．

解

设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S. 11∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，

3314VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh. 3317又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

337Sh4Sh2∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh，

3333∴体积比为1∶2∶4. 规律方法

求几何体体积的常用方法

32a＝3a2. 4

28

跟踪演练2

如图所示的三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝3，PC＝6，求其体积．(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直) 解

由题意知PA⊥PB，PA⊥PC，

PB∩PC＝P，所以PA垂直平面PBC. 所以PA是三棱锥A－PBC的底面PBC上的高，

16且S△PBC＝·PB·PC＝，

221162∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC＝·PA·S△PBC＝×3×＝，

3322即三棱锥P－ABC的体积为2. 2要点三

与三视图有关的表面积、体积问题

例3

(2014·周口高一检测)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(

) 88A．45，8

B．45，

C．4(5＋1)，

D．8,8 33答案

B 解析

由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积．

1由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝381×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5，∴S侧＝4××2×5＝3245.

29

规律方法

1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作

出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．

2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．

跟踪演练3

(2013·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

答案

16π－16 解析

由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.

1．已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是(

) A．6

B．12

C．24

D．48 答案

D 解析

设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为214，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(214)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6. ∴V长方体＝2×4×6＝48. 2．(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(

) A.2＋13

B．1

C.

D.2 22答案

D 解析

根据正方体的俯视图及侧视图特征想象出其正视图后求面积．

由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，因此该

30

几何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为2.

3.(2014·广州高一检测)一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(

) A．12π

B．18π

C．24π

D．36π

答案

C 解析

由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C. 4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于________．

答案

6 解析

由正视图还原实物图知，该几何体为高是1，底面边长是2的正三棱柱，S侧＝2×1×3＝6. 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为_____．

答案

1＋2π

2π1＋2π解析

设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，表面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为. 2π

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．

3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.

31

1.3.2

球的体积和表面积

[学习目标]

1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积．

2．能解决与球有关的组合体的计算问题．

[知识链接]

1．长宽高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc. 2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3. 3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h. 4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2＋πrl，1体积V＝πr2h. 3[预习导引]

球的体积公式与表面积公式

4(1)球的体积公式V＝πR3(其中R为球的半径) 3(2)球的表面积公式S＝4πR2

要点一

球的表面积和体积

例1

(1)已知球的表面积为64π，求它的体积．

500(2)已知球的体积为π，求它的表面积．

344256解

(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝πR3＝π·(4)3＝3334500π. (2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.

33规律方法

1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．

2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．

跟踪演练1

(2014·昭通高一检测)一个球的表面积是16π，则它的体积是(

)

32

64π32A．64π

B.

C．32π

D.π

33答案

D 解析

设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积432V＝πR3＝π.

33要点二

球的截面问题

例2

平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为(

) A.6π

C．46π

答案

B 解析

B．43π

D．63π

如图，设截面圆的圆心为O′，

M为截面圆上任一点，

则OO′＝2，O′M＝1. ∴OM＝22＋1＝3.即球的半径为3. 4∴V＝π(3)3＝43π.

3规律方法

有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．

跟踪演练2

(2014·绵阳高一检测)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．

答案

1或7 解析

若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为52－32－52－42＝1；

若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为52－32＋52－42＝7.

33

要点三

球的组合体与三视图

例3

某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．

解

由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为

1S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.

2该几何体的体积为：

142πV＝23＋×π×13＝8＋. 233规律方法

1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．

2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．

跟踪演练3

(2013·福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．

答案

12π

解析

由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R

34

＝23，∴R＝3.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.

1．直径为6的球的表面积和体积分别是(

) A．36π，144π

C．144π，36π

答案

B 4解析

球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.

32．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(

) A．2倍

C．8倍

答案

C 4解析

设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的23倍后，其体积变为原来的23＝8倍．

3．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．

答案

32 B．4倍

D．16倍

B．36π，36π

D．144π，144π

44解析

设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，

333R3＝2，∴R＝2. 4．(2014·济宁高一检测)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．

答案

14π

解析

长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.

5．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

35

答案

3π

解析

由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与1截面面积的和，即×4π＋π＝3π.

2

1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．

2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．

36

章末复习

1．空间几何体的结构特征

(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．

棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．

棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．

这三种几何体都是多面体．

(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．

(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．

2．空间几何体的三视图与直观图

(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；

它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．

注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．

(2)斜二测画法为：

主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．

3．几何体的侧面积和体积的有关计算

(1)柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式

37

圆柱

面积

S侧＝2πrh 体积

V＝Sh＝πr2h

11V＝Sh＝πr2h 331＝πr2l2－r2

31V＝(S上＋S下＋S上S下)h 312＝π(r21＋r2＋r1r2)h

3V＝Sh

1V＝Sh

31V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝πR3

3圆锥

S侧＝πrl 圆台

S侧＝π(r1＋r2)l 直棱柱

正棱锥

正棱台

球

S侧＝Ch 1S侧＝Ch′

21S侧＝(C＋C′)h′

2S球面＝4πR2

(2)在处理有关体积问题时可以利用等体积变换法．

即当所给三棱锥的体积套用公式某一量(面积或高)不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式计算．

(3)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积．

(4)割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体体积之比时，经常要用到割补法，割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补加成熟悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等．割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面．

4．球与其他几何体形成的组合体问题

球与其他几何体组成的组合体通常在试题中以相切或相接的形式出现，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，从而将空间问题转化成平面问题．

38