习题2.1名师教学设计1

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题：8．1教学目的：

椭圆及其标准方程（二）

1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；

2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程

教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程

教学难点：待定系数法

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 1

椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定

P在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁F1F2（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)

y2.椭圆标准方程：

x2y2（1）221

abPF1OF2x它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中acb

222yPF2OF1y2x2（2）221

abx它所表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(0,c),F2(0,c),中心在坐标原点的椭圆方程 其中acb

222

所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在x2y2y2x221与221这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程2abab5

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高考网www.gaokao.com x2y21(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，mnxyx2y2可与直线截距式1类比，如221中，由于ab，所以在x轴上的“截距”abab更大，因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小)

二、讲解范例：

例1

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. 选题意图：该题训练焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程，考查a,b,c关系掌握情况. 解：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：

x2y2 221(ab0)

ab∵2a(53)20(53)2010，2c=6. ∴a5,c3

∴bac5316

22222x2y21. ∴所求椭圆的方程为：2516(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

y2x21(ab0). a2b2∴bac144.

222y2x21 ∴所求椭圆方程为：169144例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2. 选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识. 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为：

5

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高考网www.gaokao.com x2y221(ab0)

2ab∵椭圆经过点(2，0)和(0，1) 22012a2b2a4∴

201b11a2b2x2y21

故所求椭圆的标准方程为4（２）∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为：

y2x221(ab0)

2ab∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a＝１０. 又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，

∴－c－（－１０）＝２，故c=8. ∴bac36. 222y2x21. ∴所求椭圆的标准方程是10036说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为a与b的值. (2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近. 例3

已知椭圆经过两点（35,)与(3,5)，求椭圆的标准方程

22x2y21(m0,n0,mn)

解：设椭圆的标准方程mn5232()()221则有

m，解得

m6,n10

n(3)2(5)21nmx2y21

所以，所求椭圆的标准方程为610例4

已知B，C是两个定点，｜BC｜＝6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程

解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角yABOCx5

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高考网www.gaokao.com 坐标系，设顶点A(x,y)，根据已知条件得|AB|+|AC|=10

再根据椭圆定义得a5,c3,b4

所以顶点A的轨迹方程为

x2y21

（y≠0）（特别强调检验) 2516

因为A为△ABC的顶点，故点A不在x轴上，所以方程中要注明y≠0的条件

三、课堂练习：

1．设F1,F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1||MF2|6，则动点M的轨迹是 （ ）

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.答案：D

x2y21的左右焦点为F1,F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则ABF2的周2.椭圆167长为 （ ）

A.32 B.16 C.8 D.4答案：B

x2y21表示焦点在x轴上的椭圆，则∈

3.设∈(0,)，方程2sincosA.(0,答案：B] B.(,) 442

22C.(0,) D.［,)

4424.如果方程xky2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是______. 2x2y221，据题意k分析：将方程整理，得

，解之得0＜k＜1.

22k0kx2y21表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______. 5.方程2mm1m101分析：据题意2m0，解之得0＜m＜

3(m1)2m6.在△ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.

分析：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=2×39=26. 3yAEFMBOC5 根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为x

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高考网www.gaokao.com x2y21 (y≠0)

焦点的椭圆，故所求椭圆方程为16925四、小结

：椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程的方法

五、课后作业：

平面内两个定点F1,F2之间的距离为2，一个动点M到这两个定点的距离和为6.建立适当的坐标系，推导出点M的轨迹方程. 选题意图：本题考查椭圆标准方程的推导方法. 解：建立直角坐标系xoy,使x轴经过点F1,F2，并且点O与线段F1F2的中点重合. 设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2ｃ(ｃ＝1)，M与F1,F2的距离的和等于常数6，则F1,F2的坐标分别是(-1，0)，(1，0). ∵MF1(x1)2y2,MF2(x1)2y2

(x1)2y26. yMx22∴(x1)y将这个方程移项后，两边平方，得

(x1)y3612(x1)y(x1)y,9x3(x1)2y2

两边再平方，得：8118xx9x18x99y

整理得：8x9y72

22222222222F1OF2x2y21. 两边除以72得：98说明：本题若不限制解题方法则可借助椭圆的定义直接写出方程.

六、板书设计（略）

七、课后记：

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