3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案推荐

3.1.3．空间向量的数量积（1）

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程

学生探究过程：

（一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

2．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cos记作ab，即ab|a||b,ab叫做a,b的数量积，|cos

,ab．思考：你能说出ab的几何意义吗？

已知向量ABa和直线l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；

可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．

3．空间向量数量积的性质：

e

B

A

B

C

A

2（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|aa．

4．空间向量数量积运算律：

1 (a)b(ab)a(b)．2 abba（交换律）．3 a(bc)abac（分配律）．

思考：（教材P90面的思考）

（三）例题分析：

向量数量积性质应用（一）-----计算

例1．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．

练习：

1、下列命题：①若ab0，则a，b中至少一个为0

②若a0且abac，则bc

③(ab)ca(bc)

④(3a2b)(3a2b)9a4b

中正确有个数为（B ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2、已知ABC中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1, C=30°,则BCCA=

。

3、若a，b，c满足abc0，且a3,b1,c4，则abbcac=

。

4、已知ab2，且a与b的夹角为22，则ab在a上的投影为

。

3例2．已知空间四边形ABCD的每条边与对角线长都是a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，O

求下列向量的数量积：

（1）ABAC

（2）ADBD

（3）FGBA

（4）GEGF

解：（1）A

B

C

12111a

（2）a2

（3）a2

（4）a2

4224向量数量积性质应用（二）------求角

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，O

OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB， ∴OABCOAACOAAB

A

C

B

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

∴cosOA,BCOABC24162322，

855|OA||BC|322．

5所以，OA与BC的夹角的余弦值为练习：教材P92面第一题

（四）．小结：空间向量数量积的概念和性质及运用

（五）．作业：

.1.3．空间向量的数量积（2）

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程

（一）

复习：1、空间向量数量积的运算及其运算律；

① cosabab2（用于求角运算问题）

② aa（用于求模运算问题）

③ abab0（用于判定垂直问题）

2、分析《习案》作业二十九。

3、练习：（1）、已知a和b是非零向量，且a=b=ab，求a与ab的夹角

（2）已知a2，b3，且a与b的夹角为求当m为何值时cd

（二）新课讲解：

向量数量积性质应用（三）-----证垂直

例1．教材P91面例2。

，c3a2b，dmab，

2例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵

ABCD，∴a(cb)0，即acba，同理：abbc，，

∴acbc，

∴

c(ba)0，

∴ADBC0，

即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然2

后通过向量运算取计算或证明。

例3．已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

（直线和平面垂直的判定定理）。

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

向量数量积性质应用（四）-----求距离

例4．教材P92面练习第2题。

巩固练习：课本第92页练习第3题。

（三）．小结：运用空间向量数量积在立体几何中证垂直、求距离。

（四）作业：《课后练习》

及教材P98面3、5题。

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