3.1直线的倾斜角与斜率（通用）名师教学视频（文字实录）

高一数学

3.1.1倾斜角和斜率

教学设计

天门高中分校

陈爱坤

教师：陈爱坤

课型：新授课

学科：数学

课题：倾斜角与斜率

年级：高二

课时：1课时

本课是人教版数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。

之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

教材

分析

作为教学对象的学生是学习主体，为了突出学生的主体的地位，教师须全面研究学生，理解学生。

1.

认知结构

经过一年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高，

学情

分析

但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上。在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程。

2.

情感结构

随着年龄的增大，阅历的丰富，高中生自主意识增强，有独立思考问题、发现问题的能力。在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣。

1.

知识与技能：

①

理解直线的倾斜角和斜率的概念。

②

掌握过两点的直线的斜率公式及应用。

2.

过程与方法目标：

①

培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力。

②

使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

3.

情感态度与价值观目标：

①

通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程。

②

通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维。

教学

目标

教学重点

教学难点

教学环境

直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。

斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。

多媒体教室

教学策略

计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

教学流程

教学设计

教学环节

教学内容

1.

观察下列的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？

学生思考回答问题。

1. 不固定

2. 固定

创设情境

切入新知

3.

我们学过函数y=x+1,它的图像是什么？

3. 一条直线

4. 两点确定一条直线

通过创设情境和对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，切入新知。

师生活动

设计意图

2.

观察下列的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？

4.

如何在平面直角坐标系内确定它的位置?

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上的方向所成的角



叫做这条直线的倾斜角。

直线的倾斜角范围：

规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°。

直线倾斜角α的范围为：α∈ [0 °，180°） 探究一

：直线的倾斜角

思考1

已知直线

l 经过点P，直线l 的位置能够确定吗？这些直线有何区别？如何描述直线的倾斜程度？

生：不确定，过一个点有无数条直线。它们的倾斜程度不同。

生：观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。

师：给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。

从实例入手，引出用倾斜角的正切值表示斜率。

师：引导学生分析归纳

探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

思考2

直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？

①

平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角；

②

倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角；

③

倾斜程度相同的直线

告知目标，明确思维的方向，将几何要素代化。

是什么？

其倾斜角相同。

思考3

确定平面直角坐标中一条直线的几何要素确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角。

互动探究

探究二

：直线的斜率

师：观察图中楼梯，我们建构概念

思考4

日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

发现坡越陡，坡面与地平

面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个

数量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量

之间究竟是怎样的关系？升高量能不能用一个数学式子来坡度（比）前进量

表示它们之间的关系？

直线斜率的定义：

一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即

教师提问：（由学生讨论后回答）

（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？

k = tan0°= 0。

（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？

= 90°，k不存在。

ktan。

由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念

可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导。

借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程。

探究三

：直线的斜率公式

思考5

已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？

给定两点P1 （

x1 ，y1），

P2 （

x2 ，y2）， 并且x1 ≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k？

思考6 当直线P2P1与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

思考7

当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？

直线的斜率公式：

经过两P1(x1,y1)P2(x2,y2)的直线的斜率公式

ky2y1x2x1

(1) 与两点的顺序无关。

(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角。

(3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=90

例1 如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

【分析】已知两点坐标，而且x1

≠ x2，由斜率公式代入即可求得k的值；

而当ktan0

时，倾斜角

是钝角；

而当ktan0

时，倾斜角

是锐角；

而当ktan0

时，倾斜角

是0°。

典例分析

深化概念

例2

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线l1，l2，l3，l4。

【分析】要画出经过原点的直线l1，只要再找出l1上的另个一点A1，而A1的坐标可以根据直线l1的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可。

学生分析求解

，教师板书。

用计算机作动画演示画直线过程。

通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义。

0。

1.

直线倾斜角的定义：X轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

直线倾斜角的取值范围：0总结归纳

课堂反思

值叫做这条直线的斜率。



师生共同总结交流完善.

引导学生学会自己总结。

180

2.

直线斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切ktan(90)

3．直线斜率的计算公式：

k

y2y1x2x1

1.

请标示出以下直线的倾斜角。

2. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率。

(1) α=30°;

(2) α=45°;

(3) α=120°;

(4) α=135°

作业

3. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。

（1）C(18,8),D(4,-4)

(2) P(0,0),Q(-1，

)

4. 已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率.

(1)A(a, c), B(b, c);

(2)C(a, b), D(a, c);

(3)P(b, b+c), Q(a, c+a).

5.

画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线。

6.

已知点P(2,3),点Q在y轴上,若直线PQ的斜率为1,则点Q的坐标为_______。

7.

斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1，b)三点，则a,b的值为(

)。

A. a=4,b=0

B. a=-4,b=-3

C. a=4,b=-3

D. a=-4,b=3 3.1.1

倾斜角与斜率

（一）直线倾斜角的概念

板书

x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

（二）直线的斜率

ktan.(a≠900) （三）直线的斜率公式

ky2y1.x2x1x1≠x2