第四章 圆与方程（通用）第二课时教学设计

《圆与方程》

银川市第六中学 张雪梅

一、教材内容分析

本节内容选自人教A版必修2第四章《圆与方程》第一节第一小节《圆的标准方程》第一课时。课型属于概念教学课。

解析几何的本质是用代数方法研究几何图形，对于不同的几何对象其研究方法实质相同都是运用数形结合的思想进行研究。所以在必修二第三章《直线与方程》研究直线方程的各种形式，并运用方程研究直线间的位置关系的基础上来研究圆就具有可比性。

其次，圆的标准方程是解析几何的基础知识，是研究二次曲线的开始后续研究直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系都离不开圆的方程。同时对于后续研究圆锥曲线，无论在知识上还是方法上都有重要意义，因此，本节课是研究曲线方程的起始课。

再次，本节课是从数、形等多个角度探讨圆的标准方程,是数与形两只手同时抓，让学生在掌握圆的标准方程的基础上，充分认识到高中数学的学习是多个角度的，尤其是几何对象，不仅关注形，还要关注数层面的一种解释，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定重要基础。因此，不仅要注意对研究结果的理解和应用，更要重视对研究方法的学习和掌握。

基于以上分析，本节课的教学重点：

探索并掌握圆的标准方程及其应用；同时关注学生在探究圆的标准方程的过程中思维层次的展现和思维能力的提高。

二、教学目标设置

结合《课程标准》和教材编排,本节课的教学目标确定为:

1.探索并掌握圆的标准方程及利用它解决简单的应用问题。

2.通过对圆的标准方程的探索, 了解可以从数、形等多种途径研究几何图形，引导获得建立曲线方程的一般思路和方法，发展直观想象素养和数学抽象素养。

3.通过经历一个完整的探究学习过程,体会解析几何探究学习的基本规律,培养发现问题、探索问题、解决问题的能力。

三、学情分析

本节课的教学对象是高一学生。

学生在本节课之前已经具备的认知基础：

（1）学生在九年级对圆的基本性质作了比较系统的学习。

（2）学生在必修二第三章直线与方程学习中经历了研究直线的顺序和过程，初步体会了坐标法研究几何问题的思想方法。

（3）经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。

学生在本节课还需要强化的认知基础：

（1）由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难，在教学中一定要关注学生反馈的信息，循序渐进的开展教学。

（2）学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。

（3）学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 基于以上分析，本节课的教学难点为：

初步体会曲线与方程的关系以及选择恰当的方法求圆的标准方程。

四、教学策略分析

圆的标准方程处于数学必修2中的最后一章的第一节,是本章的核心概念,也是解析几何中的基本概念。圆的方程是在第三章直线方程结束后进行的,所以本节课从温故知新入手,以直线方程为背景,按照“分析引入---讲授新课---练习巩固---例题解析---课堂小结”的顺序结构,引导学生通过联系以前的知识,科学地提出、分析、解决新知识,在应用时以生活中的实例为背景,进一步让学生理解数学是有用的。

五、教学预设

（一）复***道路

（过渡）在前面的学习中，我们在平面直角坐标系中，用“坐标法”研究了直线的有关问题。

问题1：请同学们回顾，我们在平面直角坐标系中利用“坐标法”研究了直线的哪些问题？研究顺序是什么？

师生活动：学生发表看法，教师给与点评、梳理、板书。

研究了在平面直角坐标系中确定直线位置的要素

在平面直角坐标系中建立直线的方程

通过方程研究了直线与直线的位置关系、直线与直线的交点等问题

设置意图：引导学生回顾用坐标法探究直线有关问题的顺序，为探究圆的有关问题提供思路。

（二）创设情境、引入新课

过渡：在客观世界和我们日常生活中随处可见圆的身影，因为圆的特性而被广泛应用。

活动1：通过课件展示自然界、生活中的圆，请同学回顾圆的定义。

问题2：大家熟悉圆的哪些知识？ 设置意图：通过学生回顾梳理圆的知识，为后续圆的方程的求解和利用几何性质数形结合提供理论支持。在此过程中，通过对圆性质在日常生活中应用的了解，发展学生人文底蕴和科学精神的核心素养。

问题3：类比直线的研究，你打算如何来学习圆? 设置意图：引导学生类比研究直线的顺序，明确研究圆这一新问题时首先要做得就是探索出解决这一类问题的方法和思路。

教师活动：学生发表看法，教师给与点评、梳理、板书，提炼本节课的研究任务——类比直线的方程的求解得到圆的方程。

研究了在平面直角坐标系中确定圆位置的要素

在平面直角坐标系中建立圆的方程

（三）探究新知、层层深入

问题4：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？

设置意图：确定圆的位置的要素是圆心位置和半径大小。

问题5：直线的方程指的是什么？

直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x,y）满足的关系式。比如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0),就是过点（x0，y0）且斜率为k的直线上的每一点的坐标（x,y）满足的关系式。我们之所以称其为该直线的方程，必须满足两个条件：（1）直线上的点满足方程；（2）方程的解对应点的坐标在直线上。

问题6：圆的方程指的是什么？

圆上任意一点坐标（x,y）满足的关系式。

设置意图：通过问题5、6让学生明确对于曲线方程的学习，首先要明白曲线的方程指的是什么？这样做不仅有利于学生探究曲线方程，而且从本质上理解曲线方程的意义。

活动2：设M（x,y）是圆上任意一点，试探究圆上任意一点M（x,y）满足的关系式。

设圆心C(a,b)、半径r,且设圆上任一点M坐标为(x,y) 根据定义,圆就是集合P={M||MC|=r} 因此 |MC|=r 利用两点间距离公式可得：

(xa)(yb)r

两边平方可得：（x-a)+(y-b)=r

设置意图：在问题5的基础上，由学生自主探究圆的标准方程，有利于学生理解、记忆圆的标准方程，更为后续学习圆锥曲线奠定基础。

活动3：请同学们思考：

22222

（1）若M（x,y）是圆上任意一点，则点M（x,y）的坐标适合方程（x-a)+(y-b)=r吗？

（2）若点M（x,y）的坐标适合方程（x-a)+(y-b)=r，则点M（x,y）是该圆上一点吗？

设置意图：这一步骤是建立曲线方程不可或缺的一步，也是学生最容易忽视的一步，通过两个问题加深学生对曲线与方程的认识。

问题7：回顾圆的方程建立过程，总结建立圆的标准方程的步骤吗？结合直线、圆的方程建立过程你能总结出建立曲线方程的一般步骤吗？

学生独立思考后再交流讨论

建立曲线方程的一般步骤: ①建立适当的平面直角坐标系；

②设M（x,y）是曲线上任意一点；

③

寻找曲线上任意一点满足的关系式；

④将点M（x,y）的坐标以及相关条件代入关系式；

⑤化简得到一个关于x,y的方程；

⑥检验（从以下两个方面检验）

（1）若M（x,y）是曲线上任意一点，则点M（x,y）的坐标适合方程吗？

（2）若点M（x,y）的坐标适合方程，则点M（x,y）在该曲线上吗？

设计意图：设计这一问题的目的是引导学生获得建立曲线方程的一般步骤，为圆锥曲线的学习奠定坚实的基础，同时引导学生养成良好的学习习惯--遇到一类新问题，我们应探究归纳出解决这类问题的方法与步骤。

（四）、学而习之、牛刀小试

练习1: 写出下列各圆的圆心坐标和半径：

(1)(x-1)+y=6 (2)(x+1)+(y-2)=9 2222222222a0） (3)(x+a)+y=a（ 222练习2 :写出下列圆的方程 （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为5

（五）例题剖析、拓展提升

例1.  ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．

设置意图：引导学生探究解决问题的方法和思路之后，学生依照自己的

喜好来选择探究出的方法求解问题，之后学生相互交流经验，探讨两种方法的优劣以及不同之处。体会运用待定系系数法和数形结合方法从数、形等多种途径研究几何图形求圆的标准方程的思想。

例2．已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2. 7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

设置意图：运用圆的标准方程解决简单的实际问题。

（六）课堂小结、提炼过程

思考:圆的标准方程发现和解析的过程是怎样的?如果今后学习新的曲线你打算如何研究，比如椭圆? 设置意图:让学生经历整个探究学习过程,还能在此基础上对本节课有整体的认识,说出整个过程的环节,感受研究几何对象的思路，让学生有意识地运用数与形的一致性思考为后续圆锥曲线的研究奠定基础。

（七）课堂延伸、布置作业

1、必做题：

课堂作业：（1）课本P121 练习4 （2）P124 习题4.1 A组 3

2、选做题

课后探究：

1）等腰三角形的顶点A的坐标（4,2），底边一个端点B的坐标是(3,5),求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形。

y4(x1)2）方程 与 表示的曲线分别是什么？

y24x1223）将圆的标准方程展开，是一个什么形式？它有什么特点？

设计意图:通过必做题和选做题进一步落实本节课所学知识,让学生在具体问题解决中形成实践能力，发展学生实践创新的核心素养。