3.1.2 导数的概念第一课时导学案

《导数的概念》教案

教学目的

1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；

2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；

3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；

4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；

5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．

教学重点

通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．

教学难点

使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．

教学流程框图

教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．

教学的主要过程设计如下：

应用概念

形成概念

由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．

理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．

通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．

复习准备

体会模型

提炼模型

理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．

感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．

从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．

小结作业

教学过程

一、引入提问

（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．

（2）提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？

（3）高台跳水的例子中，在时间段0,2里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.

（4）提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？

（5）提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？

（6）提问：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？

二、新课讲解

已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t+6.5t+10，请你用计算器完成下列表格中t0=2秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势． 数学实验记录单（1）

2x＞0时，在[2，2+x]

x＜0时，在[2+x，2]内，vh(2x)h(2)

x内，vh(2)h(2x)

xX

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 v

x

－0.1 －0.01 －0.001 －0.0001 v

－0.00001

－0.000001 你认为运动员在t0=2秒处的瞬时速度为

m/s．

在学生实验与观察的基础上指出：

当t趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．

通过前面的学习，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→0时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，一般情况下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？

思考：1.运动员位移轨迹 s(t),求某一时刻t=t0的瞬时速度怎么表示？

思考：2. 函数 f(x) 在x=x0 处的瞬时变化率怎么表示？ 教师介绍如下的的表示方法：

函数f(x)在x= x0处的瞬时变化率可表示为

f(x0x)f(x0)flim．

x0xx0xlim导数的定义：

函数f(x)在xx0处的瞬时变化率

x0limf(x0x)f(x0)flim

x0xxylim称为yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或f(x0)limx0f(xx)f(x)，即

x0xx0xf(x0x)f(x0)．

x例1：试求函数f(x)x2在x=1处的导数

你能说说求函数y=f(x)在x= x0处的导数的步骤吗？

求导数的步骤大致分为以下三步：

第一步，求函数增量；

第二步，求平均变化率并化简；

第三步，求平均变化率的极限，即导数．

课堂练习：

（1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 作业：

A层：P10/2，3，4．