1.1.3 四种命题间的相互关系ppt配用优秀教学设计

§1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

4．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．

(2)“sin 45°＝1”是真命题．

(

×

) (

×

) (3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°. (

×

) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．

(

√

) (

×

) (

√

) (

) (5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．

3(6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝π”．

22．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是

A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

答案

D 解析

命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D. π3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是

(

) 4πA．若α≠，则tan α≠1

4πB．若α＝，则tan α≠1 4πC．若tan α≠1，则α≠

4πD．若tan α≠1，则α＝

4答案

C ππ解析

命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”，故选C. 444．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的

(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

答案

A 解析

a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B. 但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．

5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

答案

A 解析

由条件推结论和结论推条件后再判断．

若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，

但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数，

则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(

)

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

题型一

四种命题及真假判断

例1

(1)下面是关于复数z＝p1：|z|＝2，

p2：z2＝2i，

p3：z的共轭复数为1＋i，

2的四个命题：

－1＋i

p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为

A．p2，p3

C．p2，p4

(

) B．p1，p2

D．p3，p4

(2)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是

(

) A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题

B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

思维启迪

(1)可化简复数z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真．

答案

(1)C

(2)D 2－1－i2解析

(1)z＝＝＝－1－i，

－1＋i－1＋i－1－i所以|z|＝2，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题，z＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C. (2)命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

思维升华

(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．

π1

(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是

(

) 32π1A．若α＝，则cos α≠

32π1B．若α≠，则cos α≠

321πC．若cos α＝，则α＝

231πD．若cos α≠，则α≠

23(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(

) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案

(1)C

(2)C

π1解析

(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是

321π“若cos α＝，则α＝”．

23(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C. 题型二

充要条件的判定

例2

已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是

(

) A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点

f－xB．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数

fxC．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β

D．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA

思维启迪

首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．

答案

D 解析

对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；

f－xf－x对于B，由＝1⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出fxfx＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；

对于C，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；

对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；

反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A. 所以p⇔q. 综上所述，p是q的充分必要条件的是D. 思维升华

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

(1)(2012·福建)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

B．x＝－1 2C．x＝5

D．x＝0

(2)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的

(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

答案

(1)D

(2)C

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

(1)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，

∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x. 又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0. (2)因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，

B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，

所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，

C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2} ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．

即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

题型三

充分条件与必要条件的应用

log2x，x>0，例3

(1)函数f(x)＝x有且只有一个零点的充分不必要条件是

－2＋a，x≤01A．a<0

B．0

21C.

D．a≤0或a>1 2

(

) (2)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

10，

A.

21C．(－∞，0]∪2，＋∞

(

) 10，

B.21D．(－∞，0)∪2，＋∞

思维启迪

(1)根据图象交点先求得f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系．

答案

(1)A

(2)A 解析

(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1. 观察选项，根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，

∴答案选A. (2)p：|4x－3|≤1⇒－1≤4x－3≤1，

1∴≤x≤1；

2q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇒(x－a)[x－(a＋1)]≤0，

∴a≤x≤a＋1. 11a≤2，a<21由题意知p是q的充分不必要条件，故有或，则0≤a≤. 2a＋1>1，a＋1≥1思维升华

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

(1)若“x2>1”是“x

x2y222(2)已知命题p：实数m满足m＋12a<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝m－12－m1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．

13答案

(1)－1

(2)3，8

解析

(1)由x2>1，得x<－1，或x>1. 又“x2>1”是“x

知由“x1”，反之不成立，

所以a≤－1，即a的最大值为－1. (2)由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0. x2y2由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

m－12－m3可得2－m>m－1>0，解得1

23即命题q：1

3a>1，3a≥1，13所以或解得≤a≤，

33384a≤24a<2，13所以实数a的取值范围是3，8.

等价转化思想在充要条件中的应用

33典例：(12分)已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，24并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

思维启迪

(1)先对集合进行化简；

(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；

(3)利用集合间的关系列出关于m的不等式，求出实数m的范围．

规范解答

解

化简集合A，

3由y＝x2－x＋1. 237x－2＋. 配方，得y＝4163∵x∈4，2，

7∴ymin＝，ymax＝2. 167，2. ∴y∈167≤y≤2.[4分] ∴A＝y16

化简集合B，由x＋m2≥1，

得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．[6分] ∵命题p是命题q的充分条件，

∴A⊆B.[8分] 733∴1－m2≤，解得m≥，或m≤－.[11分] 164433－∞，－∪，＋∞.[12分] ∴实数m的取值范围是44温馨提醒

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．

方法与技巧

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充要关系的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．

失误与防范

1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p

则q”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

A组

专项基础训练

一、选择题

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案

B 解析

依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．

2．下列命题中为真命题的是

(

)

(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

答案

A y

y≥0解析

对于A，其逆命题：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|＝，必－y

y<0

有x>y；对于B，否命题：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题：若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 3．已知集合M＝{x|0

(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

答案

B 解析

因为MN，所以a∈M⇒a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．故选B. 4．与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是

A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac

(

)

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac

C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列

D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列

答案

D 解析

因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．

5．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的

A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，

所以a∥b，即“m＝－3”⇒“a∥b”；

当a∥b时，m2＝9，得m＝±3，

所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”D⇐/“a∥b”．

故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．

b6．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的 iA．充分不必要条件

C．充要条件

答案

B b解析

复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，

ib而ab＝0表示a＝0或b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故i选B. 7．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是

A．3

答案

C 解析

原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；

它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，

则函数y＝f(x)是幂函数”，

显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．

因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

8．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是

A．m＝－2

C．m＝－1

B．m＝2 D．m＝1

(

)

B．2

C．1

(

)

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

(

)

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(

)

D．0

答案

A 解析

已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．

所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 二、填空题

9．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案

[－3,0] 解析

ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；

a<0当a≠0时，得，

2Δ＝4a＋12a≤0

解得－3≤a<0，故－3≤a≤0. 10．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．

答案

2 解析

其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．

1111．

“sin α＝”是“cos 2α＝”的________条件．

22答案

充分不必要

1111解析

∵cos 2α＝1－2sin2α＝，解得sin α＝±，故“sin α＝”是“cos 2α＝”的充分不2222必要条件．

12．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

答案

[0,2] 解析

由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，

又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

－1≤m－1－1

B组

专项能力提升

1．若集合A＝{x|2

(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

当a＝1时，B＝{x|－2

反之，若A∩B＝∅，只需a≤2即可，故“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．

21xk2．命题“函数y＝f(x)的导函数为f′(x)＝e＋x－(其中e为自然对数的底数，k为实数)，ek且f(x)在R上不是单调函数”是真命题，则实数k的取值范围是

22A.－∞，－

B.－，0

22

(

)

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

C.0，2

2

D.2，＋∞

2答案

C 1解析

当k＝－1时，f′(x)＝ex＋x＋1≥2＋1＝3，

e则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除A；

11当k＝－时，f′(x)＝ex＋x＋2≥1＋2＝3，

24e所以f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除B；

11当k＝1时，f′(x)＝ex＋x－1≥2ex·x－1＝2－1＝1，

ee则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除D.选C. 13．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．

4答案

充分不必要

解析

x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，

111即m≤，∵m<⇒m≤，反之不成立．

4441故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．

41x4．已知集合A＝x|2<2<8，x∈R，B＝{x|－1

答案

(2，＋∞) 1x解析

A＝x|2<2<8，x∈R＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>3，即m>2. 5．下列四个结论中：

①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；

②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；

④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．

正确的是________．

答案

①④

解析

由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．

由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．

由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；

反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，

所以③不正确，④正确．