习题2.1优秀公开课教案

立体几何导学案

考纲要求

1．空间几何体

①

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

②

能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.

③

会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④

会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系

①

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

②

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理.

◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

理解以下性质定理，并能够证明.

◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.

◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

③

能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

知识结构

棱柱

柱体

圆柱

正棱柱、长方体、正方体

三视图

直观图

三棱锥、四面体、正四面体

侧面积、表面积

长对正

高平齐

宽相等

棱台

空间几何体

台体

圆台

锥体

球

点与线

棱锥

圆锥

体积

点在直线上

点在直线外

点在面内

点与面

点在面外

相交

共面直线

线与线

平行

异面直线

平行

空间点、

线、面的

位置关系

直线在平面外

线与面

直线在平面内

平行

面与面

相交

相交

有公共点

没有公共点

没有公共点

只有一个公共点

平行关系的相互转化

线线

平行

线面

平行

面面

平行

空间直角坐标系

垂直关系的相互转化

线线

垂直

线面

垂直

面面

垂直

空间向量

cos＝——→→

|a|·|b|→→|a·n|→→|a·b|异面直线所成的角

空间的角

直线与平面所成的角

二面角

点到面的距离

空间的距离

直线与平面的距离

平行平面之间的距离

范围：(0，90] 范围：[0，90] 范围：[0，180] sin＝——→→

|a|·|n|→→n1·n2cos＝——→→

|n1|·|n2|→→|a·n||n|相互之间的转化

d＝——→

知识疏理

1．你能判定空间中的线线、线面、面面的位置关系吗？并能运用相关性质进行推理吗？

2．你熟悉常见几何体的三视图吗？你会还原三视图对应的几何体吗？

3．你会求柱、锥、台、球等几何体的体积、表面积、侧面积和截面积吗？

4．你理解斜棱柱、直棱柱、正棱柱的有关概念的本质吗？

5．你会求组合体的体积吗？

6．你会求点面、线面、面面的距离吗？

7．你能解决线线、线面、面面平行和垂直的证明问题吗？

8．你会求线线角吗？

9．你会求线面角吗？

10．你会求二面角吗？

11．你掌握了解决点的位置的探索性问题的常见思路吗？

12．你会解决图形折叠问题吗？

备考建议

【考查重点】

空间线面位置关系的判断与性质，简单几何体的表面积与体积，空间角的概念与计算。【命题取向】

（1）识辨三视图并求对应几何体的面积或体积.

给出空间几何体的三视图，要求还原其直观图，并分析三视图中的相关数据与表面积或体积的关系. （2）求变量取值范围或最值. （3）空间线面位置关系的判定与证明. 判定或证明共点、共线、共面、平行、垂直等位置关系. （4）空间角和距离的计算与转化. 异面直线的夹角，直线与平面所成的角，二面角，两点距，点线距，点面距的计算，或转化与上述数量有关的条件. （5）空间线面位置关系或数量关系的探索性问题. 【试题特点】

（1）根据三视图想象、还原其直观图. （2）从背景图形中提炼相关数据，计算表面积和体积. （3）渗透平几性质在立体几何中的应用. （4）背景图形为多面体、线面组合体或平面图翻折. （5）解答题一证一算，一题两法. （6）突出位置关系与数量关系两条主线，难度中等，方法常规. 【解题策略】

（1）以面面垂直为背景作平面的垂线. 利用两平面垂直的性质定理，在一个平面内取一点作另一个平面的垂线，垂足必在两平面的交线上. （2）对角和距离应先“找”后“作”再“转化”. 先观察已知图形中是否有现成的角或距离，若没有，再在图形中作出角或距离，若直接

作角或距离不方便，则将角和距离作适当转化. （3）运用函数与方程思想分析数量关系. （4）注意用直觉猜测有关结论再证明. （5）通过移图、补形、展开分析图形特征. (6)利用等积变换思想转化体积的计算.

(7)几何法为主向量法为辅. 几何法的特点：多想一点少算一点；

全国三年高考题选编

1．（2011安徽文，19，13分）

如图，ABEDFC为多面体，平面ABED

与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，

OD2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都

是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC∥EF；

（Ⅱ）求棱锥FOBED的体积.

2．（2011北京文，17，14分）

如图，在四面体PABC中，PCAB,PABC,点

D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点。

（Ⅰ）求证：DE平面BCP；

（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；

（Ⅲ

）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点

的距离相等？说明理由。

3．（2011广东文，18，13分）

如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A,A,B,B分别为弧CD、CD、DE、DE的中点，O1,O1,O2,O2分别为CD,CD,DE,DE的中点．

（1）证明：O1,A,O2,B四点共面；

（2）设G为AA中点，延长A

AO1到H，使得C

H

O1

D

O2

B

E

面O1HAO1．证明：BO2平HBG．

G

A

C

O1

D

B

O2

E

4．（2011天津文，17，13分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行

0四边形，ADC45，ADAC1，O为AC

MP中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB//平面ACM；

（Ⅱ）证明：AD平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

5．（江西文，18，12分）

如图，在ABC中，B=DOACB

2，ABBC2,P为AB边上一动点，PD//BC交AC于

''

点D,现将PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA平面PBCD.

（1）当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为

'AC的中点，求证：A'BDE.

'

6．（2011山东文，19，12分）

如图，在四棱台

ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，ABCDA1BC11D1中，D1D平面

AD=A1B1，BAD=60°（Ⅰ）证明：AA1BD；

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD.

7．（2011陕西文，16，12分）

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

8．（四川文，19，l2分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．

（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

9．（2011浙江文，20，14分）

如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中

点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）已知BC8，PO4，AO3，OD2．求二

面角BAPC的大小．

本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

10．（福建文）20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（I）求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，

求四棱锥P-ABCD的体积

本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查

空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想。

11．（2011湖北文，18，12分）

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱

长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且

AE22,BF2．

（I）

求证：CFC1E；

（II）

求二面角ECFC1的大小。

本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。

12．（2011全国大纲文，20，l2分）

如图，四棱锥SABCD中，

ABCD, BCCD，侧面SAB为等边三角形，

ABBC2,CDSD1．

（I）证明：SD平面SAB；

（II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

13．（2011全国新课标文，18，12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD．

（I）证明：PABD；

（II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

14．（2011上海文，20，14分）

已知ABCDA1BC11D1是底面边长为1的正四棱柱，

高AA12。求：

（1）异面直线BD与AB1所成的角的大小（结果用反三

角函数表示）；

（2）四面体AB1D1C的体积。

15．（2011辽宁文，18，12分）

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，

QA=AB=A1B1D1C1BADC1PD．

2（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

16．（2011重庆文，20，12分）

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥

平面ACD，

ABBC,ACAD2,BCCD1

（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。