3.1直线的倾斜角与斜率（通用）公开课教案

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

一、教材分析：本课是人教版数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

二、学情分析：两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念。

三、三维目标

知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

过程与方法：

1.在平面直角坐标系中，观察具体图形并结合动画演示，在探索描述直线的倾斜程度的几何要素中，抽象出直线倾斜角的概念，明确倾斜角的取值范围。

2.借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出描述直线倾斜程度的直线斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角和斜率之间的关系。

情感态度价值观：通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法，进一步体会“数形结合”的思想方法。

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：多媒体 几何画板

教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2. 在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、讲授新课：

1.

教学直线倾斜角与斜率的概念：

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗?

如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念:

- 1 -

①

直线倾斜角的概念：

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

讨论:倾斜角的取值范围是什么呢? 0°≤α＜180°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.. ②

直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率. 常用k表示,ktan

讨论:当直线倾斜角为90度时它的斜率不存在吗?. 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系? 斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?取值范围是0°≤α＜180°. 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? ③

直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2),则过这两点的直线的斜率ky2y1

x2x1思考 :(1)直线的倾斜角确定后, 斜率k的值与点p1,p2的顺序是否有关? (2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式k归纳：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. 2. 教学例题: 例1．已知 A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB、AC、BC的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角? 例2．在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为

1,2,3的直线l1,l2,l3.

- 2 - y2y1还适用吗? x2x1

例3．已知三点A（a，2）、B（5，1）、C（-4，2a）在同一直线上，求a的值。（三. 巩固与提高练习: 1．教材P86面练习第1、2、3、4题。

7）

2l的斜率为 3

。2．若直线l向上的方向与y轴正方向成30°角，则l的倾斜角为

60°

、

3．已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为

0°

，

斜率为 0 ，另两边AC、BC所在的直线的倾斜角为

120°、60°，斜率为

（

－3、

3

）

。

4．当且仅当m为何值时，经过两点A（m，3）、B（-m，2m-1）的直线的倾斜角为60°？

四.小结: 倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.

五:作业《习案》十七

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