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立体几何

1. (1)空间向量加法的三角形法则： (2)空间向量加法的平行四边形法则：

（首尾相连，起点指向终点） （同一起点）

二、1、线面平行判定：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

①符号表示：l//a,l,al// ②直线的方向向量与面的法向量垂直，l

2、线面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

①符号表示：la,lb,abA,l ②直线的方向向量与面的法向量平行

3、面面垂直判定：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．

①符号表示：l,l ②两个平面的法向量垂直

uuruuuruuruuuruuruuuruuruuuruuurrrrra+b=OA+AB=OB

a+b=OA+OB=OC OA-OB=BA 4、面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

uruuur1uur1uu符号表示：,l,a,ala

2、重要结论：若A、B的中点为C，则OC=OA+OB 22三、常见的线线垂直：

uuuruuruuur3、A,B,C三点共线，若OC=xOA+yOB，则x+y=1

（1）等腰三角形（或等边三角形）三线合一定理

uuuruuruuuruuur4、A,B,C,D四点共面，若OD=xOA+yOB+zOC，则x+y+z=1

5、空间直角坐标系中A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

（2）长方形或正方形邻边互相垂直，正方形或菱形的对角线垂直

（3）圆中直径所对的圆周角是直角

（4）三角形中勾股定理的逆定理

（5）若已知线面垂直，则可以得出线线垂直(线面垂直性质) （6）直棱柱、正棱柱、正方体、长方体等隐含了侧棱垂直上下两个底面，再出线线垂直

ABOBOA(x2x1,y2y1,z2z1)

ABx2x1y2y1z2z1222

（7）已知面面垂直，则可以得出线面垂直(面面垂直性质) （8）利用向量垂直，可以线线垂直

AB的中点坐标为(x1x2y1y2z1z2,,)

222&一、空间向量

(若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2))

1、ab(x1x2,y1y2,z1z2)；ab(x1x2,y1y2,z1z2)；a(x1,y1,z1)

2、向量的数量积来源学科&网Z&X&X&K][来源:Zxxk.Com]四、

利用空间向量证明平行，垂直，求角度和距离 （将向量作为一个工具）

向量法的首要条件是已知一条直线与一个平面垂直，否则不能建系

直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面，的法向量分别为m,n

x1x2y1y2z1z2ab1、向量的夹角a,b[0,]cosa,b

222222abx1y1z1x2y2z2数量积：ababcosa,bx1x2y1y2z1z2；向量的数量积是数量

abab

投影: 向量b在a方向上的投影为

|b|cosb

aabx1x2y1y2z1z2ab3、夹角公式：cosa,b；

222222abx1y1z1x2y2z224、模（长度）：

aaaa2.直线l1与直线l2所成的角[0,]，coscosa,b

23. 直线l1和平面所成角[0,]，sincosa,m

24. 平面，所成的二面角[0,]，coscosm,n

5、点到平面的距离的求法:

平面的法向量为m，点A在平面α内，点B在平面α外，2

|a|a2x12y12z12

5、平行：a//b(b0)存在唯一的实数，使得abx1x2,y1y2,z1z2

6、两个向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y2z1z20；

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ABm则点B到平面α的距离为

m