3.1.3 空间向量的数量积运算板书设计及设计说明

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．

授课提示：对应学生用书第126页

◆

教材通关

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1．空间向量的有关概念

名称

空间向量

相等向量

共线向量

共面向量

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb. (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积

共线

垂直

模

夹角

向量表示

a·b

a＝λb(b≠0)

a·b＝0 (a≠0，b≠0)

|a|

〈a，b〉(a≠0，

b≠0)

坐标表示

a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3

定义

在空间中，具有大小和方向的量

方向相同且模相等的向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

平行于同一平面的向量

cos〈a，b〉＝

a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3

[小题诊断] 1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(

) 1A．2，

2C．－3,2

解析：∵a∥b，∴b＝ka，

即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，

6＝kλ＋1，∴2μ－1＝0，2λ＝2k，答案：A 2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(

) A．9

B．－9

C．－3

D．3 11B．－，

32D．2,2

λ＝2，λ＝－3，解得1或1

μ＝μ＝.22

2x－y＝7，解析：由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，解得λ＝－9. 答案：B

→3．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，→→→AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是(

)

11A．－a＋b＋c

2211C．－a－b＋c

2211B.a＋b＋c

2211D.a－b＋c

22111→→→→1→→解析：BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 2222答案：A 4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(

) 62636065A.

B.

C.

D.

7777

解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，

7＝2t－μ，∴5＝－t＋4μ，λ＝3t－2μ.

17∴μ＝7，.λ＝65733t＝，7

答案：D ◆

易错通关

◆

→→→→

易忽视空间四点共面的条件即若O为空间任一点，若OM＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1，则M，A，B，C四点共面．

[小题纠偏] →3→1→1→

(2018·济南月考)O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点488(

) A．一定不共面

C．不一定共面

→3→1→1→解析：因为OP＝OA＋OB＋OC，

488311且＋＋＝1.所以P，A，B，C四点共面．

488答案：B

授课提示：对应学生用书第127页

考点一

空间向量及其运算

互动探究

重点保分考点——师生共研

→→[典例]

如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB→＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

→(1)AP；

→(2)A1N；

→→(3)MP＋NC1. B．一定共面

D．无法判断

解析：(1)∵P是C1D1的中点，

→→→→→1→∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1

21→1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b. 22(2)∵N是BC的中点，

1→→→→→∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC

21→1＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c. 221111→→→1→→(3)∵M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c，

22222→→→1→→又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1

21→→1＝AD＋AA1＝c＋a. 22111→→∴MP＋NC1＝(a＋b＋c)＋(a＋c) 222313＝a＋b＋c. 222

用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．