1.3.1 且（and）优质课一等奖

【课题】 1.3 简单的逻辑联结词（第一课时）

【学习目标】

（1）了解逻辑联结词“且”、“或”的含义，会使用这两个逻辑词联结得到新命题并能判断其真假；

（2）通过熟悉的物理知识理解逻辑词，进一步加强学科之间的联系．

【学习重、难点】含逻辑词的复合命题真假性的判断．正确使用逻辑词表述相关数学内容．

【知识建构】

（一）创设情境，提出问题：

情境1、逻辑联结词“且”、“或”的引入：

同学们观察下列两组中的三个命题：

（1）菱形的对角线互相垂直 （1）2是合数

（2）菱形的对角线互相平分 （2）4是合数

（3）菱形的对角线互相垂直且平分 （3）2或4是合数

问题1：每组中命题（3）与命题（1）（2）有什么关系？你还能列举出数学中其他方 面的例子吗？

问题2：若用符号p表示命题（1），q表示命题（2），那么命题（3）该如何表示？

归纳定义

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q。读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

情境2、逻辑联结词“且”、“或”与集合运算的关系：

问题3：回顾集合中交集、并集的定义：

A

B{x|xA且xB}， AB{x|xA或xB}．

你发现了什么结论？

定义中的“且”字与“或”

字与两个命题中的“且”

字与“或”

字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足, 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能. 说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。

注意：“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.

问题4：你能判断每组中三个命题的真假吗? 命题（3）的真假与命题（1）（2）有何关

系？试总结它们的规律，填入右表：

p

q

pq

pq

情境3、逻辑联结词“且”、“或”与电路原理的关系：

ppq

真

真

真

假

q

假

真

假

假

（“且”门电路） （“或”门电路）

问题5：电路中开关的开合与灯的亮灭的关系与真值表中命题之间的关系有什么相通之

处吗？你是不是进一步理解了“且”、“或”的含义．

【典例剖析】

例1：判断下列命题是简单命题还是复合命题：

（1）6是自然数且是偶数；

（2）32；

（x2)(x3)0的解是x2或x3；

（3）方程例2

：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断其真假：

（1）p：2是偶数；

q：3不是质数．

（2）p：平行直线没有交点；

q：异面直线没有交点．

（3）p：35是4的倍数；

q：35是6的倍数．

解：（1）p∧q：2是偶数且3不是质数，它是假命题．

（2）p∧q：平行直线没有交点且异面直线没有交点，它是真命题．

（3）p∧q：35是4的倍数且35是6的倍数，它是假命题．

例3：用逻辑联结词改写下列命题，并判断其真假：

（1）异面直线既不平行也不相交；

（2）1和2都是质数；

（3）75；

解：（1）异面直线既不平行且不相交，它是真命题．

（2）1是质数且2是质数，它是假命题．

（3）75或75，它是真命题．

2例4：已知命题p：方程xmx10有两个不等的负实数根；

命题q：方程4x4(m2)x10无实数根.

若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围.

2m240【解析】命题p，解得m2；

x1x2m02

命题q16(m2)160，解得1m3.

又p：m2，q：m1或m3.

若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则必须p、q一真一假，

（1）p真q假时，即p真q真，所以m的取值范围是m3；

（2）q真p假时，即q真p真，所以m的取值范围是1m2.

综上知，m的取值范围是1m2或m3.

【课题】 1.3 简单的逻辑联结词（第二课时）

【学习目标】

（1）了解逻辑联结词“非”的含义，会使用这两个逻辑词联结得到新命题并能判断其真假．

【学习重、难点】如何写出一个命题的否定．命题的否定与否命题的区别．

【知识建构】 （一）创设情境，提出问题：

情境1、逻辑联结词“非”的引入：

同学们观察下列两组中的两个命题：

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （1）3≤2 （2）若f(x)是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （2）3＞2 问题1：每组中的两个命题有什么关系？试举出几例与同学交流？

问题2：若用符号p表示命题（1），那么命题（2）该如何表示？

归纳定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p

读作“非p”或“p的否定”。

问题3：你能判断每组中两个命题的真假吗? 命题（2）的真假与命题（1）有何关系？试总结它们的规律，填入右表：

p情境2、逻辑联结词“非”与集合运算的关系：

问题4：回顾集合中补集的定义：

p

p

真

假



“非”门电路）

IA{x|xI但xA}．

（你发现它们之间有何关系？

情境3、逻辑联结词“非”与电路原理的关系： 问题5：电路中开关的开合与灯的亮灭的关系与真值表中命题之间的关系有什么相通之处吗？你是不是进一步理解了“非”的含义．

新知1：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：p，读作“非p”或“p的否定”．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

新知2：“非”命题最常见的几个正面词语的否定：

正面





是

都是

至多有一个

至少有一个

任意的

所有的

否定





不是

不都是

至少有两个

一个也没有

某

个

某

些

问题6：回顾我们在前面学习的否命题，想想命题的否定与否命题有何区别？

【典例剖析】

例1：写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）3不是15的约数；

（2）7916；

（3）78；

（4）5以内的自然数中至少有一个合数；

（5）一元二次方程至多有两个根；

（6）指数函数都是增函数；

（7）正方形的四条边相等；

（8）三角形三条高线交于一点．

【解析】（1）3是15的约数，是真命题；

（2）7916，是假命题；

（3）78，是假命题；

（4）5以内的自然数中一个合数也没有，是假命题；

（5）一元二次方程至少有三个根，是假命题；

（6）指数函数不都是增函数，是真命题；

（7）正方形的四条边不相等，是假命题；

（8）三角形三条高线不交于一点，是假命题．

例2：写出下列命题的否定及其否命题，并判断它们的真假：

（1）若x,y都是奇数，则xy是偶数；

（2）若abc0，则a,b,c中至少有一个为0 解：（1）命题的否定：若x,y都是奇数，则xy不是偶数，是假命题；

命题的否命题：若x,y不都是奇数，则xy不是偶数，是真命题．

（2）命题的否定：若abc0，则a,b,c中没有一个为0，是假命题；

否命题：若abc0，则a,b,c中没有一个为0，是真命题．

例3：分别指出由下列各组命题构成的“pq”、“pq”、“p”形式的复合命题的真假：

（1）p：9是质数，q：8是12的约数；

（2）p：1{1,2}，q：{1}{1,2}；

【解析】（1）pq：9是质数且8是18的约数；是假命题．

pq：9是质数或8是18的约数；是真命题．

p：9不是质数；是真命题．

（2）pq：1{1,2}且{1}{1,2}；是真命题．

pq：1{1,2}或{1}{1,2}；是真命题．

p：1{1,2}；是假命题．

x12,q:x22x1m20(m0)，若p是q的必要不充分3条件，求实数m的取值范围。

[9,)

例4:已知p:1

【课题】 1.4 全称量词与存在量词（第一课时）

【学习目标】

（1）了解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义；

（2）会判断含有一个量词的全称命题、特称命题的真假．

【学习重、难点】全称命题与特称命题真假性的判断方法．对全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义的理解．

【知识建构】 （一）创设情境，提出问题：

观察下列两组命题：

（1）所有的正方形都是矩形； （1）有些一元二次方程无解；

（2）每个指数函数都是增函数； （2）至少有一个整数，它不是合数；

（3）任何实数都有算术平方根； （3）存在一个三角形，它的内角和小于180°；

（4）任给nZ,2n一定是偶数． （4）有一个质数不是奇数．

思考：（1）这两组命题有何区别？

（2）每个命题中含有哪些关键词，表示什么含义？

（3）这些关键词如何用符号语言来表示？全称命题与特称命题如何用符号表示？

（4）你能不能举出类似的几例？

（5）如何判断这些命题的真假？

新知1：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中叫做 全称量词

，用表示．含有全称量词的命题，叫做

全称命题

．

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号记为：xM，p(x)．

新知2：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做

存在量词

，用表示．含有存在量词的命题，叫做

特称命题

．

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x)成立”可用符号记为：x0M，p(x0)．

（二）、典例剖析：

例1：用符号“”或“”表示含有量词的下列命题：

（1）任意实数的不小于0；

（2）存在一对实数，使2x＋3y＋30成立；

（3）勾股定理．

【解析】（1）xR，x0；

（2）(x、y)，xR，yR，2x3y30；

（3）直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．

例2：判断下列命题的真假：

（1）对任意实数x，x0；

（2）每个指数函数都是单调函数；

（3）xR,x3x10；

（4）xZ,x的个位数字不等于3．

222

【解析】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题．

例3：函数f(x)对x,y均有f(xy)f(y)(x2y1)x，成立，且f(1)0，求f(0)的值。

-2 例4：若特称命题：“x[1,)时，x2ax2a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围。

【-3,1】

【总结提升】

1．判断一个语句是全称命题还是特称命题，应先判断它是否为命题，若不是命题，则不需要再判断；判断一个命题是全称命题或特称命题，主要看是否含有全称量词或特称量词．

没有全称量词的，要根据题意去判断．

2．判断命题的真假，全称命题以特例否定，特称命题以特例肯定．

2

【课题】 1.4 全称量词与存在量词（第二课时）

【学习目标】（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

【学习重、难点】正确地对含有一个量词的命题进行否定

【知识建构】

1．回顾

我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系？

2．思考、分析

判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

2（3）x∈R, x－2x＋1≥0。

（4）有些实数的绝对值是正数；

（5）某些平行四边形是菱形；

2（6） x∈R, x＋1＜0。

3．推理、判断

你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（让学生自己表述）

前三个命题都是全称命题，即具有形式“xM,p(x)”。

其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，

存在一个矩形不都是平行四边形；

命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，

存在一个素数不是奇数；

2命题（3）的否定是“并非x∈R, x－2x＋1≥0”，也就是说，

2x∈R, x－2x＋1＜0；

后三个命题都是特称命题，即具有形式“xM,p(x)”。

其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，

所有实数的绝对值都不是正数；

命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，

每一个平行四边形都不是菱形；

2命题（6）的否定是“不存在x∈R, x＋1＜0”，也就是说，

2x∈R, x＋1≥0；

4．发现、归纳

从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：xM,p(x)

它的否定￢P：xM,p(x)

特称命题P：xM,p(x)

它的否定￢P：x∈M，￢P(x) 全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

【典例剖析】

例1：写出下列命题的否定形式，并判断其真假：

（1）xR,x20；

（2）无论k取任何实数，方程xxk0必有实根；

（3）至少有一个实数x，使x10。

例2：若特称命题：“xR,x22ax20”是假命题，求实数a的取值范围。

例3：当实数m取何值时，关于x的方程mx2x10至少有一个负根？

232

【课题】

第一章总复习

【基础知识提炼】

一、四种命题及其关系：

1.命题的概念：

2.四种命题的概念及其关系

3.四种命题的真假性间的关系

4.证明命题的方法

二、充分条件与必要条件

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义

2.会判断充要关系

三、基本逻辑联结词

1.逻辑联结词与复合命题

2.复合命题的真值表

四、全称量词与存在量词

1.全称命题与特称命题

2.全称命题与特称命题的否定

【典例剖析】

例1：

（

）（1）已知a,b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（

）（2）下列命题是真命题的为

A．若11,则xy

B．若x21,则x1

xyy

D．若xy,则

x2y2

1(kZ)”是“cos2”的

（

）（3）“2k62C．若xy,则x

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

（

）（4）若非空集合A,B,C满足ABC，且B不是A的子集，则

A. “xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件

B. “xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件

C. “xC”是“xA”的充要条件

D. “xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件

（

）5.“a1”是“直线xy0和直线xay0互相垂直”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分必要条件

2（

）6. a0是方程ax2x10至少有一个负数根的

A．必要不充分条件

C．充分必要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

（

）7. 命题“若fx是奇函数，则fx是奇函数”的否命题是

A．若fx是偶函数，则fx是偶函数[来源:Z*xx*k.Com]

B．若fx是奇数，则fx不是奇函数

C．若fx是奇函数，则fx是奇函数

D．若fx是奇函数，则fx不是奇函数

（

）8.

函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是

A.

m2 B.

m2 C.

m1 D.

m1 例2：

（

）

9.下列命题中的假命题是

．．．x1A．xR，2＞0

B．xN，x1＞0[ 2C．xR，lgx＜1

D．xR，tanx2

（

）10. 下列命题中的假命题是

．．．x1A．xR，2＞0

B．xN，x1＞0[ 2C．xR，lgx＜1

D．xR，tanx2‘

（

）11. 已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是

A．(p)q

B．pq

C．(p)(q)

D．(p)(q)

12.命题“对任何xR，x2x43”的否定是________。

13.已知0a1，命题p：设函数yloga(x1)在(0,)内单调递减；命题q：曲线如果p与q有且仅有一个正确，求实数a的yx2(2a3)x1与x轴交于不同的两点。取值范围。