1.2.1 充要条件优质公开课教案

1.2.2充要条件

一、教学内容解析

1.

教学内容：

“课标”中对于本节的“内容要求”是通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。帮助学生使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会逻辑用语在表达数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。并从集合角度对概念加以剖析,则可以使学生更准确深入地理解其中的内涵。

2.知识地位：

本节知识属于概念性知识，是高中人教A版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第二节的内容。首先,通过学习“逻辑连结词”与“四种命题”之后学习“充要条件”,知识层层深入,让学生循序渐进的掌握各种知识,符合学生认知结构,满足了学生求知欲,教学有着良好效果。其次,对全面地理解概念,正确地进行表述、判断和推理起了很大作用。再次,“充要条件”是认识问题、研究问题不可缺少的工具。

3.思想方法：

利用“充要条件”这一工具去帮助学生理解、掌握基本数学思想。如:转化与化归,函数与方程思想等。而转化往往有等价转化,也有非等价转化,等价转化就是利用原题设的充要条件,这时得到的结果是可靠的.而非等价转化却是利用原题设的一个必要不充分条件或充分不必要条件,这时所得的结果不一定可靠,要对结果进行检验、补充或另附加条件,用“充要条件”就较容易地给予分析与释疑. 二、教学目标设置

1.知识与技能目标：

（1）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（2）正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （3）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

1

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

（二）教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；

2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

三、学生学情分析

1.教学有利因素：

学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式（若p则q）和四种命题的学习，以及“充分条件与必要条件”概念的学习，都为本节课内容的讲解奠定了良好的基础.另外，我校学生基础知识掌握比较扎实，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力. 2.教学不利因素：

“充分条件与必要条件”是密不可分的、相对的两个概念，以学生现有的知识基础对“充分条件”的理解较为容易，但对“必要条件”概念的理解较为困难.另外，“充分条件与必要条件”是一个开放性的知识交汇点，往往涉及其它章节的数学知识，对学生知识储备也有一定要求. 4.教学难点：充要条件的判断

难点突破策略：

通过较为简单易懂的例题、练习、学生举例，积累足够的充分条件、必要条件的基本活动经验；循序渐进，再从充分条件、必要条件与集合间的联系上，结合集合的韦恩图表示，直观、形象的理解“必要条件”；最后再从逆否命题与原命题同真假的角度理性认识“必要条件”的概念，帮助学生准确而深刻的理解充分条件、必要条件及充要条件的概念. 四、教学策略分析：

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鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点、突破难点，课堂教学主要贯彻与执行以下思路：

1. 坚持“师为主导，生为主体”的教学理念

本节课的教学，教师更多的要站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走，让学生更多的亲身体验数学的发现之美.通过独立思考、主动探究、合作交流，使学生切实学好数学知识，提高数学能力. 2. 问题引领、启发诱导，注重对学生的思维训练

教师通过问题引领、启发诱导，引导学生多角度的审视问题，让学生从不同角度去看待问题，分析问题，思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻.在充要条件的概念教学中，为了更好的理解概念，可以通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合间的联系）来辅助概念教学. 3. 课堂教学层次鲜明、衔接自然，逐步培养学生数学学习能力

整个教学过程划分为七个环节：知识回顾、问题引入、新知建构、巩固新知、应用提高、课堂小结、布置作业.以问题为主线，为了解决问题，学习新知识，掌握了新知识再来解决问题.这样就把几个环节很自然地联系在一起，也为学生对新事物的普遍认识提供了一般性的指导。

五、教学过程：

（一）复习回顾：

1.上节课我们学习了充分、必要条件，

pq若有 则 P是q的充分条件， q是p的必要条件。

若有 则P不是q的充分条件, q不是p的必要条件。

pq可以总结为箭头所在为必要，箭尾跟着是充分。

练习1：判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件以及p是不是q的必要条件？

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（二）课题引入

案例1 我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述：

充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”

必要条件：“无之则必不然，有之则未必然

”

【设计意图】通过历史文化的学习，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱的同时，进一步加深对新知的全面认识. 案例2 下图中开关A闭合是灯泡亮的什么条件？

问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能举出原命题和逆命题都是真命题的例子吗？

A A A ABAB

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【设计意图】充要条件的概念与原命题和逆命题都是真命题，且具有以上形式的命题是分不开的，充要条件的概念应该结合具体的命题来引入，并加深理解。

（三）

新知建构

师生活动：分析具体命题中p，q之间充分性和必要性的关系，引入充要条件的概念。

一般的，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件。

概括地说：如果pq，那么p与q互为充要条件。

总结条件类型：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，既不充分也不必要条件。

当且仅当AB时,甲为乙的充分条件;当且仅当BA时,甲为乙的必要条件;当且仅当AB时,甲为乙的充要条件.

小结:充分必要条件的判断方法：定义法、集合法、等价法（逆否命题）

学生通过对例题的练习，学会用定义法、等价转化法、集合法来判断条件的类型。通过接下来的变式训练进行提高。

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已知p:x22x80,q:(x1m)(x1m)0(m0)变式训练1

若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围. 学生板演计算过程，留给学生充足时间进行思考计算，以检测和评价学习目标2、3是否达成。

利用Venn图或者数轴进行分析：

变式训练2 上题中，条件改为

通过对变式训练的练习，学生不但对充分必要条件进行一定的应用，也进一步强化了集合法和等价转化的方法的使用。学生总结：小充分大必要，相等情况角充要。

例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件. (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿条件. 1-m -4 2 1+m x p是q的充分条件

p是q的必要条件

p是q的充要条件

q p p q p(q) 若q是p的充分不必要条件，结果如何？已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：例3

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此(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？问题的设计意在考察学生的逻辑推理的能力，继续评价学习目标2、3的达成情况。

4.应用提高

例4 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d. 求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.

分析：关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.再变换另外一种说法：求证p是q的充要条件，让学生口述不同之处，体会逻辑过程同时检测学习目标4是否达成。

（四）检测反馈

2.（1）若pq,则p是q的什么条件？（2）若qp,则p是q的什么条件？（3）若pq,则p是q的什么条件？

必要条件

充分条件

必要条件

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注意点：

1.

在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出. 2.搞清

①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系；

②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系

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３.注意几种方法的灵活使用：定义法、集合法、逆否命题法

４.判断的技巧

①向定语看齐：顺向为充（原命题真）逆向为必（逆命题为真）

②等价性：逆否为真即为充，否命为真即为必。

（五）

课堂小结

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

学生总结：

（1）知识内容：

①充要条件的概念；

②充要条件的判断方法；

③充分条件和必要条件与集合的联系以及充要条件的证明. （2）思想方法：数形结合，化归与转化的数学思想

（3）核心素养：逻辑推理

老师总结：本节课我们学习了充要条件的概念的同时总结了四种条件的类型，完整体会了其中的逻辑思想，而逻辑的中心就是“条件”，时刻从条件出发去理解问题，分析问题，就占据了决绝问题的主动性，希望课后多多练习，强化几种判断方法的同时也要体会本节课内容当中包含的数学思想方法和核心素养，另外本节课内容在近五年的高考数学试题全国卷中只在2014年新课标二卷文科第3题考察了一次，是基础题型考察基本知识点，而2016和2017年都出现在了北京高考试题中与向量知识点相结合进行考察，所以同学们要合理看待本节知识的地位和作用，加强各模块内容之间的联系，保证思维的完整性和准确性。

（六）作业布置

（1）课本第12页A组1、2 ，B组1,2规范写到作业本上。

（2）完成练习册本节练习题。

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