*8.4 三元一次方程组解法举例优质课教案推荐

§8.4 三元一次方程组解法

一、教材分析：

本课的主要内容是学习三元一次方程组的解法，由于三元一次方程组相关知识与二元一次方程组类似，所以先结合实例运用类比法学习三元一次方程组的有关概念，然后利用消元思想解三元一次方程组。

二、学情分析：

学生通过学习二元一次方程组的解法已经形成了解多元方程组的基本思路----消元。但对消元方法----代入消元、加减消元还不能灵活应用，并且学生的计算能力也较差，因此通过这节课的学习能让学生能更深刻的体会消元的思想和应用方法，提高学生的运算能力。

三、教学目标：

1、会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，提高运算技能；

2、通过解三元一次方程组，进一步体会“消元化归”思想；

3、通过学习体会前后知识之间、数学与生活之间的密切联系，发展应用意识。

四、重难点分析：

重点：会准确、迅速地解三元一次方程组；

难点：根据方程组的特点确定先消哪个元，怎么消。

课时安排：1课时

五、教学过程

（一）情景引入： 问题：小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？

思考;1、你能否用二元一次方程解这个应用题？

列出二元一次方程，复习二元一次方程定义，解法，理论依据。

2还有没有其他的解法？

提问：①题目中有几个未知量？

②题目中有哪些等量关系？

③如何用方程表示这些等量关系？

小组回答：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．

xyz12，

x2y5z22，x4y．

追问①：①以上的三个方程分别是什么方程？

②三元一次方程组的定义是什么？

教师点拨，学生归纳出三元一次方程组的定义。

定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

追问②：我们会用消元法解二元一次方程组，那么是否可以类比二元一次方程组的解法解这个三元一次方程组呢？

（二）、新知探究：

问题：解方程组：

①

xyz12， ②

x2y5z22， ③

x4y．

解：将③代入①②，得

4yyz12，5yz12， 即：

4y2y5z22．6y5z22．

由学生代表（主持人）发言，对板演的学生进行评价、强调步骤并及时追问：

①

用的是什么消元方法？还有没有其它的方法呢？

②

如何用加减消元法解这个方程组？

环节：小组讨论，小组板演。小组帮扶；

解：①×5－②，得，4x＋3y=38 ④

③与④组成方程组 x=4y

③

4x＋3y=38

④

解这个方程组，得

x8，y2．把

x=8，y=2代入①，得，8

2z12所以

z=2. x8，因此，这个三元一次方程组的解为：

y2，z2．

答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．

学生代表（主持人）追问：解三元一次方程组的基本思路是什么？

学习小组代表发言总结：

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．

三元一次方程组

消元

二元一次方程组

消元

一元一次方程

（让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．）

3x4z7,

例1：解三元一次方程组2x3yz9,

5x9y7z8.解：②×3+③，得11x+10z=35．

3x4z7,x5, ①与④组成方程组

解得11x10z35.z2.1 把x=5，z=-2代入②，得y=．

3x5,1 因此，三元一次方程组的解为y,

3z2.归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．

练习：解下列三元一次方程组：

x2y9,(1)yz3,2zx47;3xyz4,(2)2x3yz12,xyz6.x22,x2,解:(1)y15.5,(2)y3,z12.5;z1.2

例2：在等式y=ax+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，

求a，b，•c的值．

（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．）

abc0, 解：由题意，得三元一次方程组4a2bc3,

25a5bc60. ②-①，得a+b=1， ④

③-①，得4a+b=10． ⑤

ab1, ④与⑤组成二元一次方程组．

4ab10.a3, 解得

b2 把a=3，b=-2代入①，得c=-5．

a3, 因此b2,，

c5. 答：a=3，b=-2，c=-5．

1 练习 2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的等于丙31数的，求这三个数．

2xyz35,x10,解得y15,

解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则2xy5,yzz10.,32 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．

（三）当堂检测

xy21、由方程组yz1可得x+y+z=

zx5

2、解出方程组

3x4z7x2y9（1）2x3yz9

（2）yz3

5x9y7z82zx47

x:y:z1:2:73、解方程组2xy3z21①②

x2yz2xy3z3x2y4z191034、解方程组

xyz5、已知2x3y4z0，3x4y5z0，求xyz的值。

xy3a(1)yz5a(2)zx4a(3)6、已知方程组

的解使代数式x2y3z的值等于10，求a的值。

7、甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少?

六：课堂小结：

这节课你有什么收获？