阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系优秀教案案例

22.3 实际问题与二次函数

第3课时

拱桥问题

【学习目标】

1.会建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题，用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题；

2.学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化；

3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。

【教学重点点】通过恰当的建立坐标系，利用二次函数知识分析并解决桥洞水面宽度问题。

【教学难点】实际问题中相关各量转化为找点坐标或求点坐标问题模型的建立。

【教学过程】

播放微视频，引出拱桥问题。

【例1】视频中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面

2 m时，水面宽

4 m .

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当水面下降

1 m时，求水面宽度；

（3）当水面下降

1 m时，水面宽度增加多少？

设计以下的问题：

问题1：对于此题你能联想到用我们学过的什么数学知识来解决？

（二次函数的图像是抛物线，而这个问题是关于抛物线形拱桥的，

由此学生不难联想到用二次函数的知识来解决。）

问题2：求水面宽度增加多少，就是要求解什么样的数学问题？

问题3：如何用函数的有关知识求解出线水面? (引导学生要求水面宽度就必须知道两个端点的坐标，而要知道端点就必须知道抛物线的解析式，而要求抛物线的解析式就必须建立平面直角坐标系。) 教师在学生回答此问题后小结：对于抛物线型的实际问题，我们可以建立适当的平面直角坐标系，从而求出抛物线的函数关系式，然后利用二次函数的有关知识来解决例题。

【解】：（1）以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴

为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设二次函数解析式为yax2

将（2，-2）代入，可得a1

2（2）当

y3时，x6

即水面的宽度为

26

m. （3）水面的宽度增加了

264

m. 【巩固练习】

在此基础上让学生尝试着建立平面直角坐标系。

变式练习1：河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角

坐标系，其函数的关系式为y12x，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面25宽度AB

为（

）

A．－20 m

B．10 m

C．20 m

D．－10 m

变式训练2．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心M处5 m的地方，桥的高度是

m.

学生独立思考，教师行间巡视，适时点拨。

学生常常会考虑以下几种情况: 1、以拱桥顶点为原点，以平行于水面的直线为x轴建立坐标系；2、以水面为x轴，以拱桥对称轴为y轴建立坐标系；3、已下降后的水面为x轴，以拱桥对称轴为y轴建立坐标系；4、已下降后的水面x轴，以该水面与拱桥的交点为y轴建立坐标系等等。

【设计思路】让学生有目的、有计划、有针对性的自学，是上好课的关键，因此自学提纲的设计显得尤为关键，在问题的设计上我遵循了由易到难、由简到繁，有利于学生掌握解题思路、方法，在问题的引导下很自然达到一定的高度，掌握了一定的知识和技能。

【小组讨论】在例1的基础上，当水面在L时，拱桥离水面2 m，水面宽4 m，有一艘顶部宽3 m，高出水面1.5 m的小船，问：

（1）这艘小船能顺利通过这座桥吗？

（2）若不能通过，水面至少下降多少米后才能通过？

(教师在小组讨论后，派代表到黑板上画出相应的图形)教师根据相应的图形找同学到黑板上进行解决，解完后让学生对各方法进行比较：

(1)计算结果是否相同；

(2)哪种方法的解答最简捷。

【设计思路】通过该环节使学生明确坐标系的建立可有不同的方法，会得到不同的函数关系式，但不同的方法得到的结果是一致的。但恰当的选择坐标系的位置可以使得解答简便，否则不仅解答不简便，有时还会导致问题无法解答。

【精讲点拨】有关抛物线形的实际问题的一般解题思路：

1、建立适当的平面直角坐标系2、根据题意找出已知点的坐标

3、求出抛物线解析式4、直接利用图象解决实际问题. 【设计思路】：通过总结抛物线型实际问题的解题步骤，使学生豁然开朗，解题思路明确，为解同类题指明了方向。

【跟踪练习】变式训练3：在例1的基础上，当水面在L时，拱桥离水面2 m，水面宽4 m，有一艘顶部宽3 m，高出水面1.5 m的小船，问：

（3）若要保证船只能双向通过，那水面至少下降多少米呢？

【课堂小结】

解决抛物线型实际问题的一般步骤：

(1)建系——根据题意建立适当的直角坐标系；

(2)找点——把已知条件转化为点的坐标；

(3)设解析式——合理设出函数解析式；

(4)求解析式——利用待定系数法求出函数解析式；

(5)具体计算——根据求得的解析式进一步进行有关的计算.

【设计思路】总结升华可以帮助学生理清知识脉络，对所学知识进一步回味、消化，由感性上升到理性，增强信心，提高兴趣。