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让圆不再有隐形的翅膀

【引例】（中考说明68页，15题）

如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转。

（1）

请你画出点F的运动路线

（2）

那么C、F两点之间的最小距离为 ，最大距离为 。

M

【变式一】如图1，∠ABC=90°，将线段EF的两端分别在边BA与BC上同时滑动，滑动过程中EF的长度保持不变，请你画出线段EF中点M的运动路线。

【变式二】如图2，已知线段AB，点P为线段AB外一动点，且满足∠APB=90°，请你画出点P的运动路线。

【变式三】如图3，∠ABC=90°，点E为边BA上一定点，点F为BC边上一动点，作点B关于线段EF的对称点B’，请你画出点B’的运动路线。

A

A

E

M E

A B

B F

B

F

F

C

图1 图2 图3 A

【问题1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点E在边AB上，并且BE=2，点F为射线BC上的动点，将△BEF沿直线EF翻折，点B落在点P处，A 则点P到边AC距离的最小值是 。

A

E

B F C D C

【问题2】如图，在正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P。

（1）请你判断线段AF与BE的位置关系，并说明理由。

（2）求线段DP的最小值。

【尝试】（中考说明30页，19题）

△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．

（1）当t=0时，求点C的坐标；

（2）当t=4时，求OD的长及∠BAO的大小；

（3）求从t=0到t=4这一时段点D运动路线的长；

（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

首先，给大家带来一个问题，请看大屏幕：【引例】

（问题）请你用几何语言描述一下你所画的路线，你是怎么想的？

（小结）这位同学的思路为我们展现了圆的形成过程。

（板书）圆：到定点等于定长的动点的轨迹（运动路线）

（问题）接下来我们来看第二个问题，你能找到点F的位置吗？

（小结）解决后面问题的关键，在于发现题目中隐藏着的点F的运动路线，然后转化为我们熟悉的相关知识，使问题迎刃而解。

今天，我们就来学习找题目中隐形圆的方法，让圆不再有隐形的翅膀。

（问题）那么我们找题目中隐形圆的依据又是什么呢？

（小结）就是刚才那位同学展现的圆的形成过程。

共有3个要素：定点、动点、定长

题目中若动点（通常是问题中的被考察点如点F）在运动过程中，到某一定点（不动点）的距离保持不变（即定长），我们就可以确定动点的运动路线为圆形。引例中点F绕点A旋转形成圆形路线，其定点(A)、动点（F）、定长（对角线AF）均较明显，可是有些题目中却将路线藏得更加隐蔽，这就需要我样深入挖掘题目中的隐含条件。

（问题）我们来看这个问题【变式一】请大家仔细审题，你能想象出中点M的运动路线的形状吗？

（小结）当遇到斜边长度不变，并且在直角边上滑动，而直角顶点不动，则斜边中点的运动路线为，以直角顶点为圆心，以斜边中线长为半径的半圆，这个问题定点、动点均较明显，而定长比较隐蔽为斜边中线的长，以直角三角形斜边长度不变为条件的动点问题，还有另一种提出方式。

（问题）我们来看【变式二】你能想象出点P的运动路线的形状吗？

（追问）“直径所对圆周角为直角”只能说明圆上的点P满足∠APB=90°，那么在圆外或圆内是否也有？这个圆是否为点P的唯一路径？

（小结）当斜边不动而直角顶点为动点时，它的运动路线为以斜边中点为圆心，以斜边一半长为半径的圆。

（问题）除了旋转、斜边定长这两种情况，我们来看在平时也经常遇到的一类问题【变式三】

若将题目中作点B关于线段EF的对称点，改为沿EF折叠，再探究点B的对应点B’的路线又是什么图形呢？

（小结）结论与作轴对称是相同的。下面我们试着解决问题1 掌握方法就要在实践中应用，接下来我们独立解决问题2. （总结）大多数问题的提出都如问题2，从表面看来似乎与圆无关，但如果我们从题目中的隐含条件出发，如

这样来解决问题，往住能达到化隐为显，化难为易的解题效果。