3.1.3 导数的几何意义教学实录与评析

导数的几何意义教学设计

本节课教学指导思想

本节教材选自人教A版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节1.1.3“导数的几何意义”，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容。

本节内容按照先突破一.般曲线的切线定义(割线无限逼近的确定位置上的直线就是该点处的切线);再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线→割线的斜率逼近切线的斜率一切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开

学情分析:

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备-一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。

教法分析:

本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。

教学过程

【教学目标】

1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．

2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．

3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．

【教法指导】

本节学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义．

本节学习难点：导数的几何意义．

复习引入

如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数

的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．

探索新知

思考1：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

思考2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2. 思考3：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？

答：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，

既使在曲线上也不一定是切点．

【小结】曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．[来源:学+科+网]

思考4：如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

答：先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．

2、例题剖析

例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

（2）求函数y=3x2在点(1,3)处的切线方程. [(1x)21](121)2xx2limlim2, 解：（1）y|x1x0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

例2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(

) A．4

B．16

C．8

D．2 【答案】C 【解析】f′(2)＝Δlim

x→0f2＋Δx－fΔx2[来源:Z_xx_k.Com]

＝Δlim

x→022＋ΔxΔx2－8＝Δlim

(8＋2Δx)＝8，即k＝8. x→0例3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(

) A．a＝1，b＝1

B．a＝－1，b＝1[来源:Zxxk.Com]

C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1 【答案】A 【解析】由题意，知＋Δx2k＝y′|x＝0＝Δlim

x→0＋aΔx＋Δx＋b－b＝1，

∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A. 例4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．

【答案】(3,30) 本节课反思及小结

作业