3.1.1 变化率问题教学目标设计

选修1—1

1.1.2

导数的概念（第一课时）

一、教学目标

知识目标1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某个区间的平均变化率

能力目标：（1）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

(2) 通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。

情感目标：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

二、教学重点、难点

重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率

难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程. 三、教学方法

引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的是实际意义和几何意义。

四、

教学基本流程

创设情境，引导探索 分析归纳，建立概念 例题讲解，尝试应用

回顾反思，感悟升华

五、

教学设想（具体如下表）

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

备注

问题一温度变化问题

观察：某城市3月18日——4月20日的温度变化情况，用创曲线图表示为：设T (℃)C (34, 33.4)情30景

、

B (32, 18.6)20（注：3月18日引为第一天）入10A (1, 3.5)新20课

210303420t(d)

你能从图中观察出各时间段内的温度变化情况吗？怎样用所学的数学知识表示这种快慢变化呢？

引导学生最终用温度得平均变化率体现温度变化的快慢，让学生意识到给出问题激发可以用变化学生的求知欲，率体现事物组织学生讨论、变化的快慢交流，引导学生情况。

得到结果。

温度的变化学生们能感同身受，对这个问题的研究能使他们有很好的接受感，从而进一步激发他们强烈的求知欲。

问题二

气球膨胀率

让学生看吹气球的视频。提出问题一：细细体会气球膨胀的过程，你有什么发现？归纳出：随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.提出问题二：怎样从数学的角度描述这种现象? 

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数43创关系是V(r)r

设3

如果将半径r表示为体积V的函数,那么情景

让学生用日3V

r(V)3常生活中切4引身感知的事入物作为研究3V给学生充分的新操作实践：r(V)3，

对象，有助于4时间探讨、交课

提高他们的⑴

当V从0增加到1时,气球半径增加了流、归纳，得出

r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为结论，老师做好引导。

r(1)r(0)0.62(dm/L)

10⑵

当V从1增加到2时,气球半径增加了研究兴趣，激发他们探究的积极性，从而达到我们所要达到的目标。

r(2)r(1)0.16(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)

21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? “随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢”，这句话的归纳得出是这个问题的难点之一，在这儿教师可以做一些引导；其次这个问题的难点是“从数学的角度如何描述这种现象？”。可引导学生类比第一个问题来理解这句话，从而解决问题。

r(V2)r(V1)

V2V1

创设情景

引入新课

问题三

高台跳水

给学生看高台跳水的动画，然后提出问题：

在高台跳水运动中,给出运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.思考，我们可以用什么物理量来描述

运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度），然后给出平均速度的实质：

h

给学生提出问

题，引导学生通

过所学的物理

ot 平均速度实质就是运动员在某段时间内的位移对于时间的平均变化率，在物理上叫平均速度，又把这个问题引导平均变化率上。使平均变化率再次体现变化的快慢. 让学生操作验证：

计算：0t0.5和1t2的平均速度v

利用学生很熟悉的物理问题并从简单的背景出知识回答问题，发，有利于学最终引导学生生利用原有意识到平均速的知识解决度就是平均变我们所设置化率，所描述的的问题，符合运动的快慢就学生的认知是变化的快慢。

规律。

0t0.5这段时间里，h(0.5)h(0)v4.05(m/s)；

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

在1t2这段时间里，v21然后比较快慢，体现可以用平均速度描述运动的快慢。

在

让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

如果上述三个问题中的函数关系用fx表示,那么问题中变化率可用式子fx2fx1表x2x1

示,我们把这个式子称为函数fx从x1到x2的平均变化率，习惯上用x表示x2x1,即xx2x1,通过生活中的实例，引导学生分引导学生自己析和归纳，让把问题一般化，学生在已有归纳出函数的认知结构的平均变化率的基础上建构概念，并明确它新知识，从而让学生积极的实际意义；引达到概念的思考，充分的导学生继续观自然形成，并参与进去，教察平均变化率建立数学概师做好引导的表达式，观察念。从而达到即可。

他的结构特征，充分发挥学得到平均变化生的学习主率的几何意义。

动性，经历和

体验概念的建立过程的目的。

xx代替x2;类似地,yfx2fx1.

1y

于是,平均变化率可表示为分x可把x看作是相对于x1的一个"增量",可用

析yfx2fx1

即平均变化率：归xx2x1纳

然后再提出问题：平均变化率的代数表示为建立fx2fx1，继续观察这个式子，你还会有什么想法？概x2x1念

引出平均变化率的几何意义。

几何意义观察函数f(x)的图象平均变化率yf(x2)f(x1)xx2x1Y=f(x)yf(x2)B表示:直线AB的斜率直线AB的斜率f(x2)-f(x1)=△yAf(x1)Ox2-x1=△xxx1x2

例题讲解

尝试应用

2yf(x)xx在区间求函数[1,1+x]内的平均变化率.

学生亲自利用数学概念形成之定义时间操作，后，通过具体例子独立完成。巩固对公式的应用，巩所学知识。

固概念提高运用能力。

注意解题过程和步骤的引导

回顾刚才运动员高台跳水问题，h(t)4.9t26.5t10探

究

65计算运动员在0t这段时间49里的平均速度,并思考下面的问题:学生通过操作，根据结论思考为下一节课建立思考，交流，得导数的概念创造到结论：平均速一个良好的问题度不能精确的情境。

描述运动员的运动状态。并引出瞬时速度。

1运动员在这段时间里是静止的吗?2你认为用平均速度描述运动员运动

状态有什么问题吗?1、三个实际变化率问题（体会变化率回顾反思

感悟升华

问题生活中处处可见）——平均变化率——平均变化率的表示——意义（实际、几何）

2、思想方法：类比、从特殊到一般

3、课下探究：瞬时速度的求法。

引导学生小结，不仅仅总结知识，更引导学生进行重要地是让他们回顾，重温本节再次体会从特殊课的内容以及到一般的数学概平均变化率概念形成的过程。从念形成的过程。

而帮助学生自行

构建知识体系，理清知识脉络。

作业安排