1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教学设计

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题的相互关系

（一）教学目标

1.知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． 2.过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（二）教学重点与难点

重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；

（2）四种命题之间的相互关系及真假性之间的联系。

难点：（1）命题的否定与否命题的区别； （2）会利用命题的等价性解决问题。

（三）材料准备

与教材配套的练习册。

（四）教学过程

探究知识点一：四种命题的定义

1.问题：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

（通过学生分析、讨论可以得到四个命题的条件和结论之间的关系．紧接着结合此例给出四个命题的概念）

（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，

（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，

（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。

2．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

（让学生举一些互逆命题，互否命题，互为逆否命题的例子。）

小结： (1)

交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：

(2)

同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；

(3)

交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．

思考：在四种命题中，原命题是固定的吗？

（不是，任何一个命题都能作为原命题。）

3.问题：若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

（学生通过思考、分析、比较，总结如下）

四种命题的形式 原命题：若P，则q．

逆命题：若q，则P．

否命题：若￢P，则￢q．

（符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即￢p；非p）

逆否命题：若￢q，则￢P．

4．巩固练习

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：

（１）

若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

（２）

末位数字是０的整数能被５整除；

2（３）

若x=1,则x=1；

（４）

若整数a是素数，则是a奇数。

（５）

若x,y都是奇数，则x+y是偶数

总结：（1）写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题。

（2）为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论。

（3）“都是”的否定语是“不都是”。

探究知识点二：四种命题的相互关系

1．思考、分析

结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

（原命题为假时类似。）

结合以上练习完成下列表格：

原 命 题

逆 命 题

否 命 题

逆 否 命 题

真

假

真

假

假

真

真

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，

逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

（学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示）

2．总结归纳

逆命题原命题互逆

若q，则p若p，则q

互为

逆否互

互逆否否否为

互

逆否命题

否命题

互逆若┐q，则┐p若┐p，则┐q

四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

总结：由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，这种方法是间接证明命题的方法，是反证法的一种。

探究知识点三：等价命题的应用

1．例题解析

例1：证明：若x2+y2=0，则x=y=0. 思路分析：当证明或判断原命题为真感到困难时，可以考虑证明其逆否命题“若x，y22中至少有一个不为0，则x+y

≠0”为真命题。

2证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x＞0 22所以x+y

＞0，

22也就是说x+y

≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

22 例2：

证明：若p

＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2．

思路分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

22 将“若p

＋ q＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，22 可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p + q≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：若p ＋ q ＞2，则

p

＋ q222

＝2111222２［（p －q）＋（p ＋q）］≥（p ＋q）＞×２＝２

222所以p

＋ q≠2．

这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

222.课堂练习：证明：若a－b＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．

3．小结：

（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；

（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．

4. 作业：

P9：习题1．１Ａ组第２、３、４题