复习参考题教学设计及课堂实录

★湖北省基础教育研究课题——《高中数学基本活动经验教学实践与评价研究》教学实践

空间中垂直关系的判定

湖北省宜昌市夷陵中学：胡爱斌

前言：2017版的《普通高中数学课程标准》明确把“基本活动经验”和“基本知识”、“基本技能”、“基本思想”一起列为“四基”，其中新增的“基本活动经验”成为一大亮点。在新的课程标准颁布之前，我们已在高中学校开展了两年多的与“基本活动经验”相关的课题研究。

本堂课选自人教A版高中数学《必修2》第二章复习参考题，是湖北省基础教育课题《高中数学基本活动经验教学实践与评价研究》的结题课（结题论文见我们发表于《中国数学教育》杂志2018年1-2期的文章《对高中数学基本活动经验的探索与实践》——作者胡爱斌，向立政）。

在课题结题前夕，笔者还形成了论文《数学基本活动获得的基本途径、影响因素及有效策略》（见资料2），此堂课的设计，按论文探讨中的五个方面展开，即（1）聚焦经验最近发展区；（2）以负面经验促进正面经验的形成；（3）构建相似活动场，有效提升活动经验；（4）应用核心方法，突破核心问题，（5）经历内化迁移

，让经验系统化。

教学重点：

1.归纳出空间中垂直关系判定的核心；

2.突破空间中垂直关系判定的核心问题，逐步形成解决问题的核心方法。

教学难点：

1.证明线面垂直要点的把握与提炼；

2.核心经验的形成及在复杂问题中的应用。

教学过程：

一.情境引入

1.以电影《真实的谎言》的一个精彩片段及生活中的一组垂直关系的图形引入。通过宜昌（古称夷陵）素有“川鄂咽喉”之称，武汉为我国的交通枢纽，逐步引导学生分析出空间中垂直关系判定的核心：线面垂直。

2.探讨线面垂直是空间中垂直关系判定核心的主要依据，明确线面垂直与线线垂直、面面垂直、线面角、面面角、空间几何体的体积、空间直角坐标系等知识之间的联系。

设计意图：通过情境引入，点出本堂课的核心内容。

二.聚焦经验最近发展区

1.请学生回顾判定线面垂直的四种方法：

（1）利用线面垂直的判定定理；

（2）利用面面垂直的性质定理；

（3）利用平行线垂直于平面的传递性（两条平行线中的一条和一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直）；

（4）利用面面平行的性质（一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则这条直线也和另一个平面垂直）。

2.在学生回答的同时展示文字语言、图形语言及符号语言。

3.提问：判定线面垂直，用得最多的是前述四种方法中的哪种？

设计意图：唤醒沉睡的经验，为学生的活动经验从模糊变得清晰奠定基础。

三.以负面经验促进正面经验的形成

1.展示如下例1三名学生错误的证题过程：

例1：如图1，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，（1）证明：BC⊥平面PAC；（2）证明：AE⊥平面PBC。

BC平面PACBC平面PAC

AC平面PACBCAC由（1）知BC平面PAC（2）证法1：

BCPCPC平面PACPCAEAE平面PBC

AEPCE（2）证法2：

由（1）知BC平面PAC平面PBC平面PACAE平面PBC

BC平面PBCAE平面PBC学生分组讨论：上述解答过程是否正确？如果不正确，主要原因是什么？试着用模型做一做（给各组学生提供直线、平面相应的模型）。你能否写出正确的过程？

设计意图：

1、通过误正交替，引导学生分析，逐步将负面经验转化为正面经验，同时培养学生学会反思的能力；

2、小组合作，培养学生分工协作的能力；

3、通过做一做的活动，让“活动”带给“经验”生长的力量。

探究：根据正确的解答过程提炼关键点，概括线面垂直证明问题的核心方法。

如例1第一小题，要证BC⊥平面PAC，可证BC⊥PA，BC⊥AC，BC出现了两次。PA  AC=A，而且PA和AC确定的平面正好是平面PAC。

师生共同归纳：根据线面垂直判定定理，如果直线l和一个平面内的两条相交直线都垂直，则要有两组线线垂直，直线l要在线线垂直中出现两次，且除l外的两条直线所确定的平面正好是。

设计意图：培养学生用已有的感性认识对活动经验进行概括的能力。

四.构建相似活动场，有效提升活动经验

例2.如图，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G．求证：AE⊥平面SBC，AG⊥平面SDC． 本题与例1情境相似，但比例1复杂一些。

设计意图：让学生及时应用形成的经验，在相似活动场中进一步深化经验。

五.应用核心方法，突破核心问题

展示核心例题，并作说明：本题在各类教辅资料中已存在二十多年，至今仍存在于各类教辅资料中，且由此题衍生的变式题层出不穷。

例3.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________。

提问：求解本题关键是要抓住什么？你还能提出什么问题？

设计意图：让学生学会分析问题的核心，并对所形成的经验展开联想。

六.经历内化迁移

，让经验系统化 思考题：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图7所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE,BD,BE. （1）证明：DE平面PBC。

试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（2）记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求

V1的值。

V2设计意图：场境进一步迁移变化，让学生经验逐渐内化，进一步深化经验的获取过程。

七.诗意化小结

1.经验唤醒：花径不曾缘客扫，蓬门今始为君开。

2.用好错误：问泉哪得清如许，为有源头活水来。

3.经验概括：竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知。

4.抓牢核心：咬定青山不放松，立根原在破岩中。

5.经验内化：春色满园关不住，一枝红杏出墙来。

设计意图：通过诗意化情境展现数学基本活动经验获取及逐步提升的几个基本过程，并蕴意数学基本活动经验在学生学习过程中所有的积极作用与独特魅力。