3.1直线的倾斜角与斜率（通用）PPT专用教学设计内容

3.1直线的倾斜角与斜率

高中数学

人教A版2003课标版

1教学目标

一、知识与技能

1．理解直线的倾斜角与斜率的概念。

2．掌握倾斜角与斜率的对应关系。

3．掌握过两点的直线的斜率公式。

二、过程与方法

通过对确定直线位置的几何要素的探究引入直线倾斜角的概念；通过日常生活中“坡度”概念的迁移获得直线斜率的概念；通过对正切诱导公式和函数图象的回忆得到倾斜角与斜率的对应关系；通过对两点确定直线的再思考引出过两点的直线的斜率公式。

三、情感态度价值观

通过倾斜角与斜率的对应关系的探讨，强化学生分类讨论问题的思想和意识；通过斜率概念的建立和过两点的直线斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，带领学生初步尝试用代数方法解决几何问题。

2学情分析

在初中，学生们已经学过一次函数y=kx+b(k≠0)，这个函数解析式里面的k其实就是我们这里要讲的斜率，此外，学生们也学***面几何中的直线，这些预备知识为本节课提供了一定的认知基础。在函数部分学习中，我们已经渗透过数形结合的思想，但学生对数形结合的认识仅停留在借助图形图象解决代数问题的层面。因此，用代数方法研究几何问题的思想和方法学生们接触的很少，有些难想到，在探究过两点的直线斜率公式时，应多做引导和启发。

3重点难点

教学重点

直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式。

教学难点

直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，过两点的直线的斜率公式的推导。

4教学过程

4.1 第一学时

教学活动

活动1【导入】一、开篇语

引导性语言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微。”，强调了数形结合的重要性。在以前的学习中，我们常常借助几何直观解决代数问题，反过来，用代数方法也可以解决几何问题，这个学科叫做解析几何。它是由17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。

解析几何的基本思想是通过建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），通过方程研究几何性质，用计算求解证明几何问题。

解析几何的诞生，使代数为几何插上了腾飞的翅膀，从而推动了数学发展的进程。

【设计意图】通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的“生长点”，引导学生体会解析几何的基本思想，尝试用“坐标法”的思想思考新的问题。

活动2【导入】二、课题引入

引导性语言：我们先研究直角坐标平面内最简单的图形——直线。为此，我们先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。

【设计意图】使学生明确本节课学习的内容。

活动3【活动】三、新知探究

活动一：直线的倾斜角

图1

图2 问题1：如图1，在同一坐标系中画出了一次函数y=x+1,y=-2x+1,y= x+1的图象，它们的图像有何联系与区别？（用几何画板展示，回答出“联系”后演示过定点(0,1)的直线系帮助学生思考“区别”图2）

【设计意图】引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。

师生活动：引导学生发现三条直线均过点(0,1)，但倾斜程度不一样，进而回顾旧知：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题2：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜程度。可以用什么样的几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度？

【设计意图】探索描述直线倾斜程度的几何要素，由此引出直线倾斜角的概念。

师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上，启发学生发现可以用直线与x轴夹角来描述直线的倾斜程度，促成概念的形成。师生共同给出倾斜角的概念：

直线的倾斜角的概念

1、定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

问题3：按照倾斜角的定义，倾斜角的取值范围是什么？

【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

师生活动：学生思考作答，教师可借助几何画板直观演示，让学生明确倾斜角的取值范围。

2、范围

规定：当直线与x轴平行或重合时，α=0°。

于是，直线倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°。

练习

判断正误

①直线确定，则倾斜角确定；（√）

②倾斜角确定，则直线确定；（×）

结论：确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是：一个定点以及它的倾斜角。

【设计意图】使学生理解直线与倾斜角的对应关系，明确确定一条直线位置的几何要素。

活动4【活动】三、新知探究

活动二：直线的斜率

引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么，如何用代数语言描述上述几何要素呢？先思考下面一个问题。

【设计意图】告知目标，明确思维方向，将几何要素代数化。

问题4：我们在生活中，骑车或步行都爬过山、爬过坡，陡的坡感觉比较难爬，如何描述坡的陡缓程度呢？

画板演示：将实际生活中的斜坡抽象成如图4所示，演示升高量、前进量改变时坡的陡缓程度的变化。

图4

【设计意图】基于学生客观认知水平，结合已有生活经验寻找几何要素代数化的方法。引导学生发现，坡的陡缓程度与前进量和升高量有关，帮助学生再现“坡度”概念。

问题5：在斜坡横截面ABC中，将斜坡对应直线AC，坡角对应直线AC的倾斜角，那么坡度对应直线的什么量呢？

【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出直线斜率的概念。

师生活动：通过类比，引导学生把“坡度”这个刻画倾斜程度的量与直线倾斜角联系起来，从而引入“斜率”这一概念。

直线的斜率的概念

1、定义

把一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率（slope），通常用小写字母k表示，即k=tanα(α≠90°)。

练习2填表：

倾斜角α=0° 30° 45° 60° 90°

120°

135°

150°

斜率 k=0 33 1 3 不存在

-3 -1 -

33结论：倾斜角为90°的直线斜率不存在。

【设计意图】使学生学会倾斜角与斜率的互换，明确“倾斜角为90°的直线斜率不存在”，学会求倾斜角是钝角时的直线斜率。

问题6：请同学们借助正切函数的图象，思考倾斜角α与斜率k有何关系？

【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解，让学生明确倾斜角与斜率的关系，体会倾斜角与斜率的内在联系。

师生活动：如图5，引导学生回忆

的图象，结合

在区间

上的图象总结出斜率与倾斜角之间的关系。

图5 2、倾斜角α与斜率k的关系

当α=0°时,k=0；

当0°＜α＜90°时,k＞0，倾斜角越大,斜率也越大；

当90°＜α＜180°时,k＜0，倾斜角越大,斜率也越大；

当α=90°时,k不存在，即倾斜角是90°的直线没有斜率。

结论：倾斜角是直线倾斜程度的几何表示，斜率是直线倾斜程度的代数表示。

练习3 判断正误

①与x轴平行或重合的直线没有斜率；（×）

②直线的倾斜角为α，则它的斜率为tanα；（×）

③直线斜率为tanα，则它的倾斜角为α；（×）

④直线的倾斜角越大,则它的斜率也越大。（×）

结论：由一个定点和倾斜角可以确定一条直线知，一个定点和斜率可以确定一条直线。

【设计意图】帮助学生理解斜率概念，以及斜率与倾斜角的关系。

活动5【活动】三、新知探究

活动三：过两点的直线的斜率公式

问题7：两点确定一条直线，直线确定，则倾斜角确定，倾斜角确定，则斜率确定。那么，你能用直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的坐标来表示该直线的斜率k吗？

【设计意图】让学生自己探索发现直线的斜率可以用直线上两点坐标来表示，只要找到倾斜角的正切与坐标的关系。

师生活动：不妨设P2在P1上方，引导学生分情况讨论，进行探究，教师给出直线上两点的坐标，请两位同学上黑板上演，其余同学在下面完成；学生根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式，师生共同评价。

问题8：(1)当P1、P2的位置对调时，k值又如何呢？

【借助几何画板验证】

(2)当直线与x轴平行或重合时，上述结论还成立吗？

(3)当直线与y轴平行或重合时，上述结论还成立吗？

【设计意图】通过进一步思考和讨论，完善两点斜率公式。

师生活动：引导学生思考、讨论，检验得到：斜率公式与P1、P2两点的顺序无关；当直线与x轴平行或重合时，斜率公式仍然适用；而直线与y轴平行或重合时斜率公式不适用。总结两点斜率计算公式。

过两点的直线的斜率公式：过两点

的直线的斜率公式为：

（或

）。

使用时需注意：

(1)当直线与x轴平行或重合时，k=0；

(2)当直线与y轴平行或重合时，k不存在；

(3)直线斜率k可以直接由直线上两点的坐标求得；

(4)直线的斜率与两点的位置无关，使用时需注意对应。

活动6【练习】四、新知巩固

例题

已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

解：∵

，∴直线AB的倾斜角为零；

∵

，∴直线BC的倾斜角为钝角；

∵

，∴直线CA的倾斜角为锐角。

【设计意图】熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

变式

直线l的倾斜角为α，斜率为k。

①若

，则k的取值范围为（ B ）

A.(-1,1)

B.(- ,-1)∪(1,+ )

C.[-1,1]

D(- ,-1]∪[1,+ ) ②若-1

A.

B. C.

D. 【设计意图】根据斜率定义式，结合图象，熟悉倾斜角与斜率之间的关系。

活动7【活动】五、课堂小结

1.在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？

2.如何求出已知两点的直线的斜率？

3.从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中体现了什么样的数学思想？

【设计意图】概括本节课所学，在反思和总结中升华新概念的理解。

师生活动：请学生进行总结，教师适当补充，和学生一起归纳刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（数）和斜率（形），利用确定直线的两种方法，归纳出斜率求解的两个计算公式。在倾斜角和直线的相互转化中让学生体会数形结合的数学思想，初步体会“坐标法”解决解析几何问题的基本方法。

活动8【作业】六、课后作业