3.3.1 两条直线的交点坐标优质课教案推荐

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【新课教学过程设计（二）】

第三章

直线与方程

第3.3.1节

两直线的交点坐标

【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.

（二）教学重点

根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.

（三）教学难点

对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

（四）教学建议

本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.

【新课导入设计】

导入一：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.高考资源网版权所有，侵权必究！

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引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.

导入二： 作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.

导入三：

问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 【课堂结构】

提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

2x6y30,2x6y0,3x4y20,(ⅰ)；

(ⅱ)；

(ⅲ)1111. yxyx2xy203232如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空. 几何元素及关系

点A 直线l 点A在直线上

直线l1与l2的交点A 代数表示

A(a，b) l：Ax+By+C=0

②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看A1xB1yC10,这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解. AxByC0222(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; 高考资源网版权所有，侵权必究！

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(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

l1、l2相交,唯一解转化直线l1、l2联立得方程组无穷多解l1、l2重合,

无解l1、l2平行.

(代数问题)

(几何问题) ③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

(ⅰ)26326134；(ⅲ)≠；(ⅱ)≠. 111111213232一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

A1B1唯一解l1l2相交,A2B2A1B1C1A1xB1yC10方程组无穷多解l1l2重合,. A2B2C2A2xB2yC20ABC无解111l1l2平行.A2B2C2注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. (b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定. ④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点. (b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论. (c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合. 例题讲解

例1

求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0. 解:解方程组3xy20,得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，2). 2xy20,变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:解方程组x-2y+2=0, 2x-y-2=0,得x=2, y=2,所以l1与l2的交点是(2,2). 设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. 5x,xy0,3解:(1)解方程组得

53x3y100,y.3所以l1与l2相交,交点是((2)解方程组55,). 333xy40,6x2y10,(1)

(2)①×2-②得9=0,矛盾, 方程组无解，所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组3x4y50,6x8y100,(1)

(2)①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点. (1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0. (2)l1:(3-2)x+y=7,l2:x+(3+2)y-6=0. (3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5. 答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1). 例3

求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程. 解法一：∵直线2x＋3y＋5=0的斜率为-22，∴所求直线斜率为-.又直线过点A(1，－4)，33由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋10=0. 解法二：设与直线2x＋3y＋5=0平行的直线l的方程为2x＋3y＋m=0，∵l经过点A(1，－4), ∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x＋3y＋10=0. 点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax＋By＋C=0中系数A、B确定直线的斜率.因此，与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m=0，其中m待定.经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)=0. 变式训练

求与直线2x＋3y＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为5的直线方程. 6答案：2x+3y-1=0. 例4 已知a为实数，两直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x轴上. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围. a1x,axy10,a21a1解:解方程组,得.若＞0，则a＞1. 2a1xya0ya1.a1当a＞1时，－a1＜0，此时交点在第二象限内. a12a21又因为a为任意实数时，都有a+1≥1＞0，故≠0.

a1因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，

a1a21,所以交点不可能在x轴上，交点(－)不在x轴上. a1a1例5

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.

(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

分析：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. [来源学科网ZXXK]5x,xy0,3解:(1)解方程组得

3x3y100,y5.3所以l1与l2相交,交点是((2)解方程组55,). 333xy40,6x2y10,(1)

(2)①×2-②得9=0,矛盾, 方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组3x4y50,6x8y100,(1)

(2)①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 例6 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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3x,2x-3y-30,5解：(方法一)由方程组得

xy20,y7.5∵直线l和直线3x+y-1=0平行，

∴直线l的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(73)=-3［x-()］，

55

即所求直线方程为15x+5y+16=0. (方法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，

∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，

即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l与直线3x+y-1=0平行，

∴23312311.解得λ=. 12从而所求直线方程为15x+5y+16=0. 点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。

例7 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标. 思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点. 另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标. 解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组x-3y-110,得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直x4y100,线方程左边，

得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.

这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).

解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.

由于m的取值的任意性，有2xy-10,x2,解得

-x3y110.y-3.所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2，-3) 点评

含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点

课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过高考资源网版权所有，侵权必究！

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本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. 作业

课本习题3.3

A组1、2、3,选做4题.

当堂检测

1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1,p)，则m-n+p为（

）

A.24

B.20

C.0

D.-4

2.已知点P(-1,0),Q(1,0)，直线y=-2x+b与线段PQ相交，则b的取值范围是（

）

A.［-2,2］

B.［-1,1］

C.［-,］

D.［0,2］

3.三条直线x+y=2、x-y=0、x+ay=3构成三角形，求a的取值范围.

4. 已知两直线l1:x+my+6=0，l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，当m为何值时，直线l1与l2：①相交；②平行；③重合；④垂直.

5.三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？

(2)由可得直线x+y=2和直线x-y=0的交点坐标为(1，1).若三线共点，则点(1，1)在直线x+ay=3上，

所以有1+a=3.解得a=2. 综上,可知a满足的条件为a{-1,1,2}. 4.解:联立方程组

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(1)当m=0时，则l1：x＋6=0，l2：－2x＋3y=0,∴l1、l2相交. 当m=2时，则l1：x＋2y＋6=0，l2：3y＋4=0,∴l1、l2相交. (2)当m≠0且m≠2时,,,. 若=m=-1或m=3;若=m=3. ∴当m≠-1且m≠3时(≠),方程组有唯一解,l1、l2相交. 当m=-1时(=≠),方程组无解,l1与l2平行. 当m=3时(==),方程组有无数解,l1与l2重合. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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(3)当m-3+3m=0即m=时,l1与l2垂直(∵l1⊥l2A1A2+B1B2=0). 点评：要注意培养学生分类讨论的思想. 5.解析：三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.

解法一:任两条直线都相交，则交于同一点，

,,故a≠±1.又有三条直线不

故其中两条直线的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0,a2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.

综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.

解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉.

若三条直线交于同一点，则其中两条直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2. 的交点(-1-a,1)在直线

若l1∥l2，则有,a=1；若l1∥l3，则有,a=1；若l2∥l3，则有,a=±1. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.

全

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