2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优质课教案设计

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

●三维目标

1．知识与技能

(1)正确理解空间直线与平面的位置关系．

(2)进一步培养学生的空间想象能力，以及有理有据、实事求是等严肃的科学态度．

2．过程与方法

(1)经历空间直线与平面位置关系的研究过程，在研究的过程中掌握一些解决线面关系的基本方法．

(2)在结合图形探究空间直线与平面位置关系的过程中，发展学生对数形结合思想的意识，提高解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)在对空间直线与平面位置关系的研究过程中，激发学生对数学的好奇心和求知欲．

(2)在合作交流中发展学生的合作精神和团队精神，在探究活动中获得成功的体验．

(3)在运用数学解决问题的过程中，认识到数学具有抽象、严谨和广泛应用的特点，体会到数学的科学价值和应用价值．

●重点难点

重点：空间直线与平面位置关系．

难点：空间直线与平面位置关系的判断．

重难点突破：以学生熟知的长方体为切入点，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，引导学生通过观察、思考，归纳出空间直线与平面的位置关系．然后借助典型案例，让学生熟练掌握两种关系，突出重点的同时化解难点．

●教学建议

空间直线与平面的位置关系是空间几何中重要的位置关系．可以让学生通过直观感知及自主学习的方式，完成本节知识的学习，教师在此过程中适时引导和点拨，最后通过例题及练习辅助教学，澄清学生学习本节知识的疑难点，提升学生的认知能力，为今后进一步学习空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系打下基础．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：空间中直线与平面有几种位置关系？⇒⇒通过引导学生回答所提问题理解“空间直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系”.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握空间中直线与平面的三种位置关系.

引导学生通过观察长方体，给出空间中直线与平面的三种位置关系.

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直线与平面的位置关系

【问题导思】

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

【提示】

三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．

直线和平面的位置关系

位置

关系

直线a在平

面α内

直线a与平

面α相交

直线a与平

面α平行

公共点

符号表示

图形

表示

典型例题：

例1：下列说法：

有无数个公共点

a⊂α

有且只有一个公共点

a∩α＝A 没有公共点

a∥α

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中正确的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【思路探究】

结合直线与平面的位置关系的定义求解．

【自主解答】

对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.故①是错误的．

对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平

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行．故②是错误的．

对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.故③是错误的．

对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行．故④是正确的．

综上所述，正确的个数为1. 【答案】

A

规律方法总结：

1．本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行．

2．判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法．

变式训练：

若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A．α内的所有直线均与a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内直线均与a相交

D．直线a与平面α有公共点

【解析】

由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．

【答案】

D

例2：设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面(

) A．有且只有一个

B．恰有两个

C．没有或只有一个

D．有无数个

【错解】

如图，过P作a1∥a，b1∥b. ∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A. 【答案】

A

【防范措施】

在利用图形对问题分析时，要充分考虑符合题设条件的各种情形，如本

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题在考虑上述情况的同时，还应注意直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行的情形．

【正解】

(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，则过P与a，b都平行的平面不存在．

(2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时，如图所示，过P作a1∥a，b1∥b. ∵a1∩b1＝P，

∴过a1、b1有且只有一个平面．

【答案】

C 规律总结：

1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式

(1)点的个直线与平直线与平面相交(直线,

与平面有唯一公共点)数分类面不平行直线在平面内(直线与,

平面有无数公共点)(2)在平面直线与平面相交直线在平面外直线与平面平行内分类当堂检测：

1．圆柱的两个底面的位置关系是(

) A．相交

C．平行或异面

B．平行

D．相交或异面

按是否直线在平面内按公共直线与平面平行(直线与平面没,

有公共点)

【解析】

圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．

【答案】

B 2．直线a与平面α相交，则a与α的公共点的个数为(

) A．0

C．2

B．1

D．无数

【解析】

由直线与平面相交的定义可知，直线a与平面α相交，a与α的公共点有且只有一个．

【答案】

B 3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(

)

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A．平行

C．异面

B．相交

D．不确定

【解析】

∵M∈平面α，M∈平面β，

∴α与β相交于过点M的一条直线．

【答案】

B 4．由已知条件作图：a∥α，b∩α＝A，c⊄α，b∩c＝A. 【解】

如图．

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