3.1.2 导数的概念优质课教案

导数的概念（第1课时）

一、教学目标：

1．了解曲线的切线的概念．

2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念．

3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础．

二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念．

教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

三、教学用具：多媒体

四、教学过程：

1．曲线的切线

如图，设曲线C是函数yf(x)的图像，点P(x0,y0)是曲线C上一点，点Q(x0x,y0y)是曲线C上与点P邻近的任一点．作割线PQ，当点Q沿着曲线C无限地趋近于点P，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT．我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P处的切线．

问：怎样确定曲线C在点P处的切线呢？因为P是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PT的斜率tan，即tanlim2f(x0x)f(x0)ylim.

x0xx0x例题

求曲线yx1在点P（1，2）处的切线的斜率k．

解：yf(x0x)f(x0)f(1x)f(1)(1x)21(11)x22x

yx22xx2

xx∴klimylim(x2)2，即k2．

x0xx02．瞬时速度

我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数ss(t)描述．

下面以自由落体运动为例进行分析．

已知s12gt．

2（1）计算t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段内平均速度．

（2）求t3秒时的瞬时速度．

解：（1）3,3.1,t3.130.1,t指时间改变量．

ss(3.1)s(3)v11g3.12g320.3059.s指位置改变量．

22s0.30593.059.

t0.1其余各段时间内的平均速度，事先刻在光碟上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内平均速度的变化情况．

ss随t变化而变化，t越小，越接近tts于一个定值，由极限定义可知，这个值就是t0时，的极限．

t11g(3t)2g32ss(3t)s(3)2

vlimlimlim2t0tt0t0tt1

glim(6t)3g29.4（米/秒）

2t0s问：非匀速直线运动的瞬时速度是怎样定义的？（当t0时，平均速度的极限）

t（2）从（1）可见某段时间内的平均速度教师引导，学生进行归纳：求非匀速直线运动在时刻t0的瞬时速度的方法如下：

非匀速直线运动的规律ss(t)

时间改变量t，位置改变量ss(t0t)s(t0)

平均速度vss，瞬时速度vlim．

t0tt一般地，如果物体的运动规律是ss(t)，物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到tt这段时间内，当t0时，平均速度的极限，即

vlimss(tt)s(t)lim

t0tt0t例题

若一物体运动方程如下：

2 (0t3) (1)3t2 s

2

(2)293(t3) (t3) 求此物体在t1和t3时的瞬时速度．

2解：当t1时，s3t2

ss(tt)s(t)3(1t)223122vlimlimt0t0ttt

26t3t

limlim(63t)6.t0t0t当t3时，s293(t3)2

ss(tt)s(t)293(3t3)2293(33)23(t)2vlimlimlimt0t0tt0ttt

lim3t0.t0所以，物体在t1和t3时的瞬时速度分别是6和0．

3．课堂练习（学生练习后教师再讲评）

（1）求yx32x2在x2处的切线的斜率．

解：yf(x0x)f(x0)

f(2x)f(2)

(2x)32(2x)2(23222)

10x6(x)2(x)3y106x(x)2

xylim(106xx2)10.

∴klimx0xx0（2）教科书第111页练习第1、2题．

4．课堂小结

（1）曲线的切线．

（2）瞬时速度．

（3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤．

五、布置作业

1．求下列曲线在指定点处的切线斜率．

（1）yx2,x2处，

（2）y231,x0处．

x12．已知某质点按规律s2t2t（米）作直线运动．求：（1）该质点在运动前3秒内的平均速度；（2）质点在2秒到3秒内的平均速度；（3）质点在3秒时的瞬时速度．

解：1．（1）k12，（2）k1；

2．（1）8米/秒，（2）12米/秒，（3）14米/秒．