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利用导数研究方程的根和函数的零点

【教学目标】

1.

知识与技能：

利用导数研究函数的图象特征，掌握用函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.

核心素养：

理解导数是研究函数的重要工具，掌握用函数图像判断函数的零点个数和所在区间的方法. 能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】

理解函数的零点与函数图像的关系，形成用函数图像处理问题的意识.

【教学难点】

利用导数研究函数的图象特征

【教学方法】

发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】

一、基础知识回顾：

1．函数零点概念

对函数yfx，把使fx0的实数x叫做函数yfx的零点．

2.零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有fafb0，那么，函数yfx在区间a,b内有零点.即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.

3.方程fx0的根函数yfx的零点函数yfx的图像与x轴的交点的横坐标

方程fxgx的根方程fxgx0的根hxfxgx的零点

函数ygx与yfx的图象的交点的横坐标。

4.用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数

曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.

二、应用实例

例1.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．【2019年全国高考数学文】

证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

【详解】

解：（1）fx2cosxcosxxsinx1cosxxsinx1

令gxcosxxsinx1，则gxsinxsinxxcosxxcosx

当x0,时，令gx0，解得：x2

xx(0,),gx02时，当；当2时，gx0

g(x)在0,2上单调递增；在2,上单调递减

gg0110又，10，g112<0 22则gx的图象大致为



2

即当x(0,)时，gx0，此时gx无零点，即fx无零点

2gg0

x0,，使得gx00

22fx,xxgxgx又在在,上的上单调递减

0为，即22唯一零点

综上所述：fx在区间0,存在唯一零点

巩固练习: ex(x1)2的零点在区间k,k1上,kZ则1.f(x）k .

2．若函数fxxlnxa有两个零点，则实数a的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．,1,1,0,eeee1111

【答案】

1.0 2.C【来源】2016黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题

（0，）【解析】函数的定义域为，由fxxlnxa0，得xlnxa，

设gxxlnx，则g'xlnx1，由g'xlnx10得x，此时函数单调递增，

由g'xlnx10得0x，此时函数单调递减，即当x时，函数1111gx取得极小值gln，当x0时gx0，∴要使函数eeee1e1e1e即方程xlnxa有两个不同的根，即函数gxfxxlnxa有两个零点，和ya有两个不同的交点，则a0，

故选C. 点睛：本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键；根据函数零点的定义，

fxxlnxa0，得xlnxa，设函数gxxlnx，利用导数研究函数1e的极值即可得到结论. 3.已知函数fxlnx【解析】

【分析】

（1）对函数f(x)求导，结合定义域，判断函数的单调性；

【详解】

（1）函数f(x)的定义域为(0,1)(1,)，

x1x1.

（1）证明f(x)有且仅有两个零点；

x1x21f(x)lnxf(x)因为函数f(x)的定义域为(0,1)(1,)，2，x1x(x1)所以f(x)0，因此函数f(x)在(0,1)和(1,)上是单调增函数；

1111e20，显然当当x(0,1)，时，x0,y，而f()ln1eee11ex(0,1)，函数f(x)有零点，而函数f(x)在x(0,1)上单调递增，故当x(0,1)时，函数f(x)有唯一的零点；

e12e21e23220,f(e)lne20，

当x(1,)时，f(e)lnee1e1e1e21因为f(e)f(e2)0，所以函数f(x)在(e,e2)必有一零点，而函数f(x)在(1,)上是单调递增，故当x(1,)时，函数f(x)有唯一的零点

综上所述，函数f(x)的定义域(0,1)(1,)内有2个零点；

小结：1.用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数

曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数. 2.根据函数g(x)的单调性与极值的情况，大体画出g(x)的图象，从而确定图象与x轴公共点的个数．

3.函数零点、方程的根与函数图像的关系

函数yFxfxgx有零点

方程

Fxfxgx0有实数根

函数y1fx,y2gx图像有交点.

课后作业：

1．设a为实数，函数fxx3x2xa，当

a什么范围内取值时，曲线yfx与x轴仅有一个交点。

2、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m

（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。