小结精品学案

圆锥曲线

课

题：小结与复习

教学目的：

1.

椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距，椭圆的几何性质，椭圆的画法；

双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距，双曲线的几何性质，双曲线的画法，等轴双曲线；抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距，抛物线的几何性质，抛物线的画法，

2.

结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育

教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用. 教学难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等. 授课类型：复习课 课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、课前预习

定义

椭

圆

双曲线

抛物线

标准方程

图形

顶点坐标

对称轴

焦点坐标

渐近线方程

二、复习引入：

名

称

椭 圆

y双 曲 线

y

图

象

OxOx

平面内到两定点F1,F2的距离的和

平面内到两定点F1,F2的

定

义

为常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆即MF1MF22a

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，

当2a=2c时，轨迹是一条线段距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1MF22a

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线

当2a=2c时，轨迹是两条射线

当2a﹥2c时，轨迹不存在

焦点在x轴上时：F1F2

当2a﹤2c时，轨迹不存在

标准方

程

xy1 2xy2a2b221 2ab22yx焦点在y轴上时：焦点在y轴上时：221 aby2x2注：是根据分母的大小来判断焦点21

2ab在哪一坐标轴上

焦点在x轴上时：

acb，ab0，

22222常数c2a2b2，ca0

a,b,c a最大，cb,cb,cb

的关

系 c最大，可以ab,ab,ab

焦点在x轴上时：

渐近线

xy0 ab焦点在y轴上时：

yx0

abyy抛物线：

ylyOFOF图形

lxxFOxFOlx

l

方y22px(p0)

y22px(p0)

x22py(p0)

程

焦点

x22py(p0)

p(0,)

2p(,0)

2(p,0)

2p(0,)

2三、章节知识点回顾：

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标

准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

x2y2y2x22．椭圆的标准方程：221，221

（ab0）

ababx2y23．椭圆的性质：由椭圆方程221(ab0) ab(1)范围: axa,byb，椭圆落在xa,yb组成的矩形中．

(2)对称性:图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点

(4)离心率:

椭圆焦距与长轴长之比ecbe1()20e1

aa椭圆形状与e的关系：e0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e0时的特例e1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例

4．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线

即MF1MF22a

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关

5．双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

x2y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0)；

aby2x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0) ab

6.a,b,c有关系式cab成立，且a0,b0,c0

222其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab

7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上

8．双曲线的几何性质：

（1）范围、对称性

22x2y2由标准方程221，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向ab来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

（2）顶点

顶点：A1(a,0),A2a,0，特殊点：B1(0,b),B20,b

实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

（3）渐近线

bxyx2y2过双曲线221的渐近线yx（0）

aabab（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e2cc，叫做双曲线的离心率范围：e1

2aabc2a2c2双曲线形状与e的关系：k1e21，e越大，即渐近线的斜率2aaa的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

9．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e10．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为y2

bkbxx(k0)，那么此双曲线方程就一定akax2y2x2y2是：1(k0)或写成22

22ab(ka)(kb)

11．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线

区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

12．双曲线的焦点弦：

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦

焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：

AB2ae(x1x2)

过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(x1x2)

当双曲线焦点在y轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：AB2ae(y1y2)

过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(y1y2)

13．双曲线的通径：

2b2定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d

a14 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 15．抛物线的准线方程：

pp,0)，准线l：x

22pp2(2)x2py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y

22pp2(3)y2px(p0), 焦点:(,0)，准线l：x

22pp2(4) x2py(p0), 焦点:(0,)，准线l：y

22 (1)y2px(p0), 焦点:(2相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的12pp ，即424不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py，左端为x （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 16．抛物线的几何性质

（1）范围

22

因为p＞0，由方程y22pxp0可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

（2）对称性

以－y代y，方程y22pxp0不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

（3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y22pxp0中，当y=0时，x=0，因此抛物线y22pxp0的顶点就是坐标原点．

（4）离心率

抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．

17抛物线的焦半径公式：

抛物线y2px(p0)，PFx02ppx0

22ppx0 22抛物线y2px(p0)，PFx02抛物线x2py(p0)，PFy02ppy0 22ppy0

22抛物线x2py(p0)，PFy0218．直线与抛物线：

（1）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）

22将l:ykxb代入C:AxCyDxEyF0，消去y，得到

关于x的二次方程axbxc0 （*）

若0，相交；0，相切；0，相离

综上，得：

2ykxb2联立2，得关于x的方程axbxc0

y2px当a0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）

当a0，则

若0，两个公共点（交点）

0，一个公共点（切点）

0，无公共点 （相离）

（2）相交弦长：

弦长公式：d1k2，

a（3）焦点弦公式： 抛物线y22px(p0)，

ABp(x1x2)

抛物线y22px(p0)，

ABp(x1x2)

抛物线x22py(p0)，

ABp(y1y2)

抛物线x22py(p0)，ABp(y1y2)

（4）通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d2p

（5）若已知过焦点的直线倾斜角

2pp2pyk(x)y1y222yp0则k

2yk22y2pxy1y2p12p4p22p2AByy

y1y24p12sinsin2sink2（6）常用结论：

p2pk2p2yk(x)22222yp0和kx(kp2p)x0

2yk42y2pxy1y2p2和x1x2p

4四、【跟踪练习题】

1.动点A到定点F1(0, －2)和F2(0, 2)的距离的和为4，则动点A的轨迹为

( B ) A. 椭圆

B. 线段

C. 无图形

D. 两条射线；

2.动点P到定点F1(1, 0)的距离比它到定点F2(3, 0)的距离小2，则点P的轨迹是

( C ) A．双曲线

B．双曲线的一支

C．一条射线

D．两条射线

1，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的2焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（

）

（A）3

（B）6

（C）9

（D）12

3.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为

x2y234.已知椭圆C：221(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直ab3线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为43，则C的方程为

（

）

x2y2x2x2y2x2y221

B．y1

C．1

D．1

A．33212812415.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为（

）

1123（A）3（B）2（C）3（D）4

y26．已知F是双曲线C：x1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐32标是(1，3)，则△APF的面积为（

）

1A．

3

1B．

2

2C．

3

3D．

2x2y21(a0)的离心率为2，则a（

）

7.已知双曲线2a3A. 2

B. 65

C.

D. 1 22228.已知F是双曲线C：xmy3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（

）

A.3

B.3

C.3m

D.3m

x2y29、已知双曲线C:2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为错误！未找到引用源。，则C的渐近线方ab程为

( ) A、y=±错误！未找到引用源。x

（B）y=±错误！未找到引用源。x

（C）y=±错误！未找到引用源。x

2

（D）y=±x

y21的离心率大于2的充分必要条件是（

）

10.双曲线xm（A）m1 2

（B）m1

（C）m1

（D）m2

x211.已知M（x0，y0）是双曲线C：y21上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，2

若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是（

）

（A）（-33，）

33

（B）（-33，）

66（C）（

22222323，）

（D）（，）

333312..设双曲线C的两个焦点为2,0，

. 五【课后作业】

六、板书设计（略）

七、课后记：

2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为

