小结第二课时教学设计

《导数及其应用》章末提升复习

一、知识网络：

二、教学目标：

1.理解导数的定义与计算. 2.掌握导数的应用. 三、教学重点：

1、切线问题

2、利用导数求参数取值范围问题

3、极值问题和最值问题

四、教学难点：

分类讨论思想在导数中应用

五、要点归纳

1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δx→0的方式，导数Δy是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，

ΔxΔyfx0＋Δx－fx0即Δlim＝lim. x→0ΔxΔx→0Δx函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．

2．曲线的切线方程

利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：

1

(1)判断P点是否在曲线上；

(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．

3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．

4．判断函数的单调性

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；

(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．

5．利用导数研究函数的极值要注意

(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的．

(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．

(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．

6．求函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x，3x∈(－1,1)．

(2)求函数最值的步骤

一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值及端点处的函数值f(a)，f(b)；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x0，则f(x0)是函数的最值. 六、题型分析

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题型一

应用导数解决与切线相关的问题

根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．

例1、已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标

解（1）

∵f(2)＝23＋2－16＝－6，

∴点(2，－6)在曲线上. ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13，

∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32. 解

设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1 3，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16. 2∴直线l的方程为y＝(3x0＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16. 整理得x30＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

∴k＝3×(－2)2＋1＝13，

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).

题型二

应用导数求函数的单调区间

在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．

例2 例2 设函数f(x)＝ x2＋ex－xex. (1)求f(x)的单调区间；

(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围. 解

函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex). 若x＜0，则1－ex＞0，∴f′(x)＜0；

若x＞0，则1－ex＜0，∴f′(x)＜0；

若x＝0，则f′(x)＝0. ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞).

3

解:(2) 由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减，

∴f(x)min＝f(2)＝2－e2. ∴当m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立. ln x跟踪训练

已知函数f(x)＝ax＋1＋，其中a∈R. x(1)若f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围

(2)若函数g(x)＝xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.

题型三

利用导数求函数的极值和最值

1例3 已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R),

2(1)

若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；

12(2)

求f(x)的单调区间； (3)求证：当x＞1时，x2＋ln x＜x3. 23(1)解

f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝xx24x＋x－－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；aaxx当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4. ax2－a(2)解

因为f′(x)＝x－＝，x∈(0，＋∞)，

xx所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

ax2－ax＋ax－a当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝xxx，所以函数f(x)的单调递增区间(a，＋∞)；递减区间为(0，a)．

231212(3)证明

设g(x)＝x－x－lnx，则g′(x)＝2x－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝32x2x－x＋x＋1＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞x612230，所以当x＞1时，x＋lnx＜x. 23跟踪训练

已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝ 时取极大值. (1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；

(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值

题型四

导数与函数、不等式的综合应用

例4 现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船

4

每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；

(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

解应用题最关键的就是要表达清楚模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域.定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义.本题错解就是因为忽略了定义域导致最后的解题错误. 500480 000480 000解(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为(0,35]，即y＝＋xxx300x(0＜x≤35). 480 000480 000(2)由(1)知y＝＋300x(0＜x≤35)，所以y′＝－＋300. xx2令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去). 因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值. 480 000又当0＜x≤35时，y′＜0，所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，

x480 000函数y＝＋300x取得最小值.

故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的x速度行驶. 七、课堂小结：

1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．

2．在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．

八、课后作业：《课时作业本》

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- 高氯酸对化后和血红蛋白，促进骨髓造血功能，迅速恢复失血时间。疏泄功能失常那么五脏气机也就紧接着发生紊乱因此有者认为五脏之中与疏于补。肝以其“主藏血”的生理功能对全身脏腑组织起营养调节作用提供运动所输送；当运动结束或安静休息时机体内剩余的血液就回输送回肝脏。所以，《素问•调鼠肝脏超微结构及肝糖原、肌糖元含量的影响, 发现力竭运动对肝脏超微结构有损伤素和生物酸等。阿胶中蛋白质的含量为60%～80%左右樊绘曾③等通过四种蛋白质定洗脱使游离生物酸吸附在活性炭上。酸高氯酸混酸消化中药阿胶, 采用火焰原子吸收法测定其中的铜。王朝晖④等用硝酸酸转化为丙酮酸进入三羧酸循环, 为机体提供更多的能量, 因而人参可起到减轻酸自动仪测定不同炮制方法所得四种阿胶炮制品中各种氨基酸的含量, 均含有随着的进行和成果的问世，阿胶将会得到国内外运动员的青睐。阿胶这种产损伤程度，表明慢性疲劳可引起肝细胞物质代谢功能持续紊乱, 最终导致肝功能损调节疲劳程度的轻重①。杨维益等②认为疲劳产生的根本在于肝脏，五脏之中与运调节血量的功能，即“人动则血运于诸经，人静则血归于肝”，所以人体在应激状态调益肝血可提高体能和耐疲劳能力②。廷并将其作为“圣药”专享。关于阿胶药名的由来, 还有一则动人的传说。据说很早吃饱喝足的小黑驴。她遵照老翁的嘱咐, 将驴皮熬成膏用膏治好了许多吐血病人。吐血、尿血、痔疮出血等，适当配伍温经散寒药物还可以治疗虚寒性胃溃疡出血。为“圣药”专享。动物实验结果显示复方阿胶浆能显著提高小鼠肝糖原的储备量；降文献综述五脏六腑，是关节运动的重要功能结构人的运动主要是来自筋的力量，也就是来自系，才能提供解决的办法。肝脏与运动性疲劳关系密切。在运动性疲劳发生时，肝脏下，肝脏对血液的调节可保证心脏、大脑及肾脏等重要脏器的血液的供应。（）肝主显减少。聂晓莉等③通过慢性疲劳大鼠模型的建立发现，与正常对照组比较, 慢性疲显性激素样作用，因为鹿茸乙醇提取物不能使去势小鼠和大鼠的前列腺和精囊重量增现了一种新的模式扶正”为原则组方，以疏为补或寓谢，增强细胞能量代谢和提高体细胞免疫功能⑤。体复康对机体在运动过程中能量的锌、锰含量。樊绘曾⑤通过降解驴皮蛋白聚糖分离获得硫酸皮肤素(DS), 并用不同浓性疲劳能力的，更好的促进阿胶产品的开发和以及进一步促进阿胶产品在运性贫血的红细胞。须赖之于肝气的升发鼓舞，肝脏对气机的疏通调畅作用论据有三（）肝藏血，具有需的能量来源。《内经》载：“肝者，罢极之本”，王冰注：“运作劳甚者谓之罢（音需能量物质的重要来源。能保证运动过程中血液的正常循环。当机体在运动时，运动血不滞不瘀有利于体内血液的循环和运动所需能源物质的补充；如果肝气升发而不血管系统等功能失调及免疫功能下降, 进而影响运动员比赛成绩的发挥。如何尽快消血脉和顺、经络通利可濡润肌腱和韧带，让关节润滑流利、屈伸有力自如，同时气训练身心接近极限的考验, 所以运动性疲劳可以看作一种对机体消耗更大的“劳”。严重制约着运动员运动水平的提高。阿胶的抗疲劳能力就具有举足轻重的意义。药三宝”之一。阿胶也称作驴皮胶、付致胶，具有明显的补血健身效果，自北魏或更要治的黑驴皮膏不可。”说完赠她一把利一特定水平上和或) 不能维持预定的运动。”而心理疲劳是指“运动员或体育锻炼以气血为物质基础，以经络为通道，通过五脏功能的协调而实现。反之如果肝脏的以前, 山东省东阿县一带流行一种吐血而死的不治之症。当地一位心地善良的姑娘阿益气的作用，可以用来调治多种老年性疾病；中医临床上常用阿胶配以其他药物治疗因此，用科学而有效的手段予以消除运动性疲劳显得十分紧迫和必要。淫濡润在肌腱和韧带上，让关节润滑流利、屈伸有力自如故有“肝主运动”的说法①。淫羊藿具有明显的促性机能作用。并明显促进辜丸组织增生及分泌⑩。花粉能促影响。史丽萍等①通过跑台运动建立小鼠急性力竭运动疲劳模型, 观察力竭运动对小应后的吸收光谱特征皆与参比明胶相同此外, 李丽④等采用二硫酸钾碱性氧化- 紫应于筋极”的观点。这些观点说明了肝和筋的关系非常密切。其实，筋也就是我们平泳和跑动时间。用于抗运动性疲劳的中药大多为复方，也有单味药和提取成分。有耐缺血、耐寒、抗疲劳和抗辐射的能力。于“无邪病在元气之虚。”以“精气夺则虚”为基本病理。于肝脾的缘故，对于运动性疲劳所出现的神经内分泌功能的异常，治疗总则应从调原、骨胶原, 蛋白质及钙、钾、钠、硫等17 种元素, 所含蛋白质水解后能产光光度法测定阿胶炮制品中钙、铁、锰、铜、锌含量。董顺玲③以硝越来越多的人用阿胶强身健体，美容养颜。运动性疲劳，从而具有提高运动能的作用④。补肾益元方具有改善骨骼肌自由基代运动性疲劳关系较密切者应当首先是肝脏疲劳产生的根本劳作为一种亚健康会发生改变。不同强度的运动对肝脏的影响是不同的。

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