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直线与圆锥曲线的位置关系

课前预习学案

一、预习目标

1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；

2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．

二、预习内容

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：

；

2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．

3、弦长公式 ；

4、焦点弦长： ；

1．直线yxb与抛物线y2x，当b 时，有且只有一个公共点；当b 时，有两个不同的公共点；当b 时，无公共点．

2x2y22．若直线ykx1和椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围为 ．

25m3．抛物线yax与直线ykxb(k0)交于A,B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴的交点的横坐标是x3，则恒有（ ）

2(A)x3x1x2(B)x1x2x1x3x2x3(C)x3x1x20(D)x1x2x1x3x2x30

4．椭圆mxny1与直线xy1交于M,N两点，MN的中点为P，且OP的斜率为222m，则的值为（ ）

2n(A)2292232 (B) (C) (D)

232272y21

，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满5．已知双曲线C:x4足上述条件的直线l共有（ ）

(A)1

条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

6．设直线y2x1交曲线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，

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（1）若|x1x2|2，则|AB| ．（2）|y1y2|2，则|AB| ．

7．斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于A,B两点，则|AB| ．

y28．过双曲线x1的右焦点作直线l，交双曲线于A,B两点，若|AB|4，则这样的直22线l有（ ）

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

9．已知椭圆x2y4，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ）

22(A)32 (B)23 (C)3036 (D)

321，过F作直线l交椭圆310．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率为e于A,B两点，已知线段AB的中点到椭圆左准线的距离是6，则|AB| ．

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内预习学案

一、学习目标

1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．

二、学习过程

1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？

2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？

3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

疑惑内容

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的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：

4．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

5．例题

例1．过点(1,6)的直线l与抛物线y4x交于A,B两点，若P(,0)，|AP||BP|，求l的斜率． 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

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例2．直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21的右支交于不同的两点A,B，

（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

例3．已知直线l和圆M：x2y22x0相切于点T，且与双曲线C:x2y21相交于A,B两点，若T是AB的中点，求直线l的方程．

例4．如图，过抛物线y2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于（1）求该抛物线上纵坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，斜率存在且倾斜角互补时，求2p的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的2y1y2的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

y0例5．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c,0)(c0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点．（I）求椭圆的方程及离心率；（II）若OP.OQ0,求直线PQ的方程；（III）设APAQ(1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FMFQ．

课后练习与提高

1．以点(1,1)为中点的抛物线y8x的弦所在的直线方程为（ ）

2(A)x4y30 (B)x4y30 (C)4xy30 (D)

4xy30

x2y22．斜率为3的直线交椭圆1于A,B两点，则线段AB的中点M的坐标满足方程（ ）259(A)y332525x (B)yx

(C)yx (D)yx

25253323．过点(0,1)与抛物线y2px(p0)只有一个公共点的直线的条数是（

）

(A)0 (B)

1 (C)2 (D)3

x2y24．过双曲线221的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PFQ900，1ab则双曲线的离心率是（ ）

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(A)2 (B)12 (C)22 (D)32

5．过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则11等于（ ）

pq14 (C)4a (D)

2aa(A)2a (B)x26．直线yxm与椭圆y21交于A、B两点，则|AB|的最大值是（ ）

4(A)2 (B)2245410810 (C) (D)

5557．已知双曲线xykxy90与直线ykx1的两个交点关于y轴对称，则这两个交点的坐标为 ． 8.与直线2xy40的平行的抛物线yx的切线方程是 ．

9.已知椭圆的中心在原点，离心率为21，一个焦点是F(m,0)（m是大于0的常数）．

2（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q是椭圆上的一点，且过点F,Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|2|QF|，求直线l的斜率．

10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线xay1的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a的取值范围．

11．已知直线ykx1与双曲线3xy1相交于A,B两点．是否存在实数k，使A,B两点关于直线x2y0对称？若存在，求出k值，若不存在，说明理由．

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点、直线与圆锥曲线的位置关系

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．

(二)能力训练点

通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．

(三)学科渗透点

通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．

二、教材分析

1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．

(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．

(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．) 3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．

(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．) 三、活动设计

四、教学过程

(一)问题提出

1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？

引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．

2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？

引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．

(二)讲授新课

1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

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的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：

(由教师引导学生完成，填好小黑板)

上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．

2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

3．应用

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求m的取值范围．

解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．

由一名同学演板．解答为：

由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．

又

∵直线与椭圆总有公共点，

即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，

亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．

∴1-m≤0，即m≥1．

故m的取值范围为m∈(1，5)．

解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．

另解：

由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．

又∵直线与椭圆总有公共点．

∴

直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．

故m的取值范围为m∈(1，5)，

小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．

称，求m的取值范围．

解法一：利用判别式法．

并整理得：

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∵直线l′与椭圆C相交于两点，

解法二：利用内点法．

设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，

∴y1+y2=3(x1+x2)．(1) 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．

练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？

(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？

由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．

练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．

由教师引导方法，学生演板完成．解答为：

设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．

又(x′，y′)为曲线C上的点，

∴(y+3)2+4(x-3)2=4．

∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．

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(三)小结

本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．

五、布置作业

的值．

2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？

3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．

作业答案：

1．由弦长公式易求得：k=-4

当4-k2=0，k=±2， y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离

当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6) (1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点

(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点

(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切

故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交

当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离

六、板书设计

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