复习参考题名师教学设计2

立体几何中角的比较大小

执教者：陈晖

（杭州新锐教师高中数学第五组

浙江省富阳中学）

教学内容分析：教学内容以立体几何中角的比较为主干内容，涉及常规的几

何模型（三棱锥、正方体），以及旋转、翻折问题。强调将立体几何问题平面的

主要原则，要求学生能够有效反思的主导思想。

课程标准分析：立体几何内容属于新课程标准中主题三（几何与代数）内容，教学要求为：“运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念”。

教学学情分析：本次授课的具体对象为杭州市第十四中高三某平行班学生，学生学习能力较强，自主学习性较好。学生已经通过第一轮知识点的梳理复习，对于一些基础性必要性的内容有较好地掌握。教学时间正处于第二轮复习阶段，学生的题型归纳总结能力、知识点整合能力、知识体系完善能力急需得到极大培养与提升。授课的重心在于对知识点的串联，引导学生去反思总结，让学生对高考知识点有清楚地认识与理解，强化学生分析问题、解决问题的能力。

教学目标：

知识目标：1.学生能够熟练掌握立体几何中角的常规做法。

2.通过学习，学生能够理解将立体几何问题平面化的原则。

能力目标：1.学生发现问题、分析问题、解决问题的能力能够得到提升；

2.通过新旧知识的联系应用，学生能够建立较为完整的知识体系，形成螺旋式上升；

3.学生的逻辑推理、直观想象等数学核心素养的培养能够得到有效地落实。

情感、态度、价值观目标：

1.学生的学习积极性能得到极大地激发；

2.通过一题多解的形式，学生能够学会自主学习，能够勤于反思总结。

教学重点：立体几何中角的比较大小。

教学难点：1.立体几何中角的平面角的做法。

2.立体几何问题平面化。

教法：教师启发、引导，建立完整的知识体系，直观形象表达概念的本质，激发学生兴趣和求知欲。

学法：学生自主思考、讨论、整理、归纳。

教具：多媒体、三角板

教学过程：

一、情境引入：

立体几何中角的取值范围

1．

异面直线所成的角：(0,]

22．

斜线与平面所成的角：(0,)

23．

二面角：[0,]

二、具体实施：

1.已知PABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC

上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为、、，则 （ ）

A．

B．

C．

D．

设置目的：通过平移求解异面直线所成的角，利用平面图形各线段的长度关系比较所求的角的大小。

2.（2017浙江卷）如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），

P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，BQCR2，分别记二面角

QCRA

D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则（

）

A．γ<α<β

B．α<γ<β

C．α<β<γ

D．β<γ<α

设置目的：强调三垂线定理作出二面角的平面角，始终贯穿将立体图形平面化的原则。

练：已知正方体ABCDA1B1C1D1边长为1，点E,O分别在线段4EB1B1D1，B1D1和BD上，DOBO，动点F在线段AA1上，51A(0)，分别记二面角FOB1E，且满足AFA12FOEB1，FEB1O的平面角为,,，则（

）

A. 

B. 

C. 

D. 

设置目的：巩固练习，通过后测检验学生的掌握程度，提升熟练度。

3.已知三棱锥DABC，记二面角CABD的平面角为，直线，DA与平面ABC所成的角为1，直线DA与BC所成的角为2，则（

）

A. 1

B. 1

C.2

D.2

设置目的：巩固练习，通过后测检验学生的掌握程度，提升熟练度。

三余弦定理:平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。

例如:OP是平面OAB的一条斜线，且OP在面上的射影是OB。若∠POB=α(斜

线与平面所成角)，

∠AOB=β(射影与直线所成角)，OP与OA所成角为γ(直线与

斜线所成角)，则cosγ=cosαcosβ。

E为棱BC应用：如图，正四面体ABCD的棱CD在平面上，的中点.当正四面体ABCD绕CD旋转时，直线AE与平面所成最大角的正弦值为

。

设置目的：进一步三余弦定理的应用，适当拓展成旋转问题。

4.如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则（

）

A. ADB

B. ADB

C. ACB

D. ACB

设置目的：翻折问题中，空间角的大小比较。

5.已知矩形ABCD, AD2AB,沿直线BD将△ABD折成△A'BD，使点A'在平面

BCD上的射影在△BCD内（不含边界），设二面角A'BDC的大小为，直

线A'D、A'C与平面BCD所成的角为、，则(

)

A. 

B. 

C.

D.

设置目的：通过练习，进一步熟练掌握翻折问题中二面角的平面角的做法，利用

平面各线段的长度大小关系进行线面角、二面角的大小比较。

1课后思考：已知等腰直角三角形△ABC斜边BC上的一点P满足CPCB，将4△CAP沿AP翻折至△C'AP，使二面角C'APB为3，记直线C'A,C'B,C'P与平面ABP所成角分别为α，β，γ，则（

）

A．γ>β>α

B．β>γ>α

C．γ>α>β

D．β>α>γ

三、课堂小结：

1.立体几何中角的常规方法

异面直线所成的角：①通过平移成相交直线，②空间向量法

斜线与平面所成的角：①垂线法，②等积法，③转移法，④空间向量法

两个半平面所成的角：①定义法，②三垂线定理，③射影面积法，④空间向量法

2.立体几何问题尽可能转化为平面问题处理