习题4.1教案2

必须2习题4.1教学设计

教学目标：掌握处理确定圆方程的两种方法：几何法及待定系数当法。

教学重点：几何法和待定系数法

教学难点：选择最恰当的方法求圆的方程

教学方法：启发、合作交流、讲练结合

教学过程：

一、知识点摸底练习

1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是

2.圆的一般方程是什么

3.已知A（1.1），B（3，3），求AB线段垂直平分线的方程

二、研究例2、例3、例4提炼出确定圆的常用方法

求圆的标准方程的常用方法

(1)几何法

利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果. (2)待定系数法

由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆方程中的三个参数,从而确定圆的方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.

三、处理习题

1、略

2.求下列各圆的方程，并画出图形：

（1）圆心为点C（8，-3），且过点A（5，1）

处理方法：因此题非常简单安排学生自己单独练习，相互对对答案。

解：半径r=|CA|=(58)2(13)25,所以圆心为C的圆的标准方程为(x8)2(y3)225

（2）过点A（-1，5），B（5，5）C（6，-2）三点。

该题处理方法：学生自行处理，提示尽量尝试两种方法，把握时机让学生交流切磋，展示规范解法. 解法一：

设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2

①

因为过点A（-1，5），B（5，5）C（6，-2）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是

(1a)2(5b)2r2222(5a)(5b)r

(6a)2_(2b)2r2解此方程组得

所以圆的方程为

a2b1r5

(x2)2(y1)225

法二：

解：因为点A（-1，5），B（5，5），所以线段AB的中点D的坐标为（2，5），易知线段AB的垂直平分线ｍ方程为x=2，

因为点A（-1，5），C（6，-2），所以线段AC的中点E的坐标为（5/2，3/2）,直线AC的斜率

kAC52351，因此线段AC的垂直平分线ｎ的方程为yx即yx1

1622圆心M的坐标是方程组

x2的解，

yx1x2解此方程组，得

y1所以圆心M的坐标为（2，1）

圆的半径长r|MA|(12)2(51)25，所以圆心为M的圆的标准方程

(x2)2(y1)225

3.已知圆C的圆心在直线l:x2y10上，并且经过原点和A（2，1），求圆C的标准方程。

此题的处理方法：奇数小组用几何法，偶数小组用待定系数法。

参考方法：

解：因为点A（2，1），O（0，0），所以线段AO的中点E的坐标为（1，1/2）,直线AO的斜率

ko1011，因此线段Ao的垂直平分线ｎ的方程为y2(x1)即4x2y50

2022圆心C的坐标是方程组

x2y104x2y50

的解，

解此方程组，得

6x5y1

1061(,)510所以圆心C的坐标为61145()2()2510=100

圆的半径长r=|CO|=61145(x)2(y)2510100

所以，圆心为C的标准方程为（待定系数法略）

4.圆C的圆心在X轴上，并且过点A（-1，-1）和B（1，3），求圆C的方程。

(几何法）

解：因为点A（-1，1），B（1，3），所以线段AB的中点D的坐标为（0，2），又直线AB的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线ｎ的方程为y= -x +2

圆心C的坐标是方程组y0的解，yx2

解此方程组，得x2

y0所以圆心C的坐标为（2，0）

圆的半径长r|CA|(12)2(10)210，所以圆心为C的圆的标准方程为

(x2)2y210

（待定系数法）

222设所求圆的方程为

(xa)(yb)r解法一：因为圆心在x轴上，所以b=0,所以C为圆心的方程化为

(xa)2y2r2

①

因为点A（-1，1），B（1，3）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是

(1a)212r2

(1a)232r2解此方程组得

a2

r10

所以圆的方程为

(x2)2y210

22xyDxEyF0，因为圆心在X轴上，解法二：设圆的方程为故E0，即E=0 222xyDxF0

因为点A（-1，1）所以圆的方程化为，点B（1，3）都在圆上，

所以它们的坐标都满足方程，

于是

(1)212DF01232DF0解此方程组得

所以圆的方程为

D4F6

x2y24x60

5.已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),求证圆的方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.

学生尝试，老师指导，共同解决。

x1x2y1y2(x1x2)2(y1y2)2,)解法一：AB的中点C的坐标，直径｜AB｜＝

22(|AB|(x1x2)2(y1y2)22rr所以半径

2，所以4x1x22y1y22(x1x2)2(y1y2)2(x)(y)所以圆心为C的标准方程为

22422x（xx)xxxy(y1y2)yy1y20

1212化简整理得：即：(x-x1)(xx2)(yy1)(yy2)0

kAPkBP1

法二：在圆上任取一点P（ｘ，ｙ）（与A、B两点不同），依题意知，yy1yy21(x-x1)(xx2)(yy1)(yy2)0，所以xx整理得经验证当P点与A、xx12

B重合时，P的坐标也满足上式方程

6.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？

处理方法一：随意用三点确定一个圆，把第四点的坐标代入进行验证。

解：圆的方程为(x1)2（y3)25

法二：利用线段AB、线段BC和线段CD的三条垂直平分线汇集一点，说明四点共圆。