3.1.2 导数的概念公开课教案（教学设计）

§3.1

导数的概念及运算

最新考纲

1.了解导数概念的实际背景．

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．

考情考向分析

导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，的应用中考查；导数的几何1y＝x3，y＝，y＝x的导数．

x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.

1．导数与导函数的概念

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim

→Δx0fx0＋Δx－fx0Δy＝lim

，我们称它ΔxΔx→0ΔxΔx0为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

→fx0＋Δx－fx0. ΔxΔy＝lim

ΔxΔx→0(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

f(x)＝c(c为常数)

f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1)

f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1)

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxf′xgx－fxg′x′＝(g(x)≠0)．

gx[gx]2导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1

－f′(x)＝cos x

f′(x)＝－sin x

f′(x)＝ex

f′(x)＝axln a

1f′(x)＝

x1f′(x)＝

xln a概念方法微思考

1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？

提示

|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．

2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？

提示

不一定．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(

×

) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(

×

) (3)(2x)′＝x·2x1.(

×

) －

题组二

教材改编

2．[P85A组T5]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________. 答案

2e 解析

∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e. 3．[P85A组T6]曲线y＝1－答案

2x－y＋1＝0 2解析

∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2. x＋22∴所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三

易错自纠

4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

) 2在点(－1，－1)处的切线方程为____________．

x＋2

答案

D 解析

由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. πsin x5．若f(x)＝，则f′2＝________. x4答案

－2

πxcos x－sin xπ4解析

∵f′(x)＝，∴f′＝－. 22xπ26．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为

．

答案

1

1解析

∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1. x又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，

∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．

令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.

题型一

导数的计算

xx1－2cos2，则f′(x)＝

. 1．已知f(x)＝sin 421答案

－cos x

2xx1－cos ＝－sin x，

解析

因为y＝sin 222111－sin x′＝－(sin x)′＝－cos x. 所以y′＝222cos x2．已知y＝x，则y′＝________. esin x＋cos x答案

－

excos xcos x′e－cos xe′x解析

y′＝′＝

eex2sin x＋cos x＝－. ex3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝

. 答案

1 1解析

f′(x)＝2 019＋ln x＋x·＝2 020＋ln x，

x由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1. 4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝

. 答案

－4 解析

∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，

∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，

∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. 思维升华

1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．

(2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．

xx

题型二

导数的几何意义

命题点1

求切线方程

2x＋1例1 (1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))x＋1处切线的斜率为(

) A．1

B．－1

C．2

D．－2 答案

A 2x＋12x－11解析

由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－. xxx＋11∴f′(x)＝2，∴f′(1)＝1. x由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1. (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为

．

答案

x－y－1＝0 解析

∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，

∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，

∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. y0＝x0ln x0，∴由解得x0＝1，y0＝0. y＋1＝1＋ln xx，000

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 命题点2

求参数的值

例2 (1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝

. 答案

1 解析

由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，

1＋a＋b＝3，2则3×1＋a＝k，k＋1＝3，3

由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1. 17(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图22象的切点为(1，f(1))，则m＝

. 答案

－2

1解析

∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1. x又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，

设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

17则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x20＋mx0＋，m<0，

22∴m＝－2. 命题点3

导数与函数图象

例3 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(

)

答案

B 解析

由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B. (2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝

.

答案

0 11解析

由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－. 33∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，

又由题图可知f(3)＝1，

1－＝0. ∴g′(3)＝1＋3×3思维升华

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．

y1＝fx1，(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．

y0－y1＝f′x1x0－x1

(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．

跟踪训练

(1)(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是

．

答案

y＝0或4x＋y＋4＝0 解析

设切点坐标为(x0，x20)，

∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，

2∴x0＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，

∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，

即y＝0或4x＋y＋4＝0. 1＋cos xπ(2)设曲线y＝在点2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝

. sin x答案

－1 －1－cos x解析

∵y′＝，∴y′sin2x1由条件知＝－1，∴a＝－1. a(3)(2018·开封模拟)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是

．

答案

(－∞，2) 解析

函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．

11所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－. xx1因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．

x＝－1. xπ2

π11．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′2等于(

) x

A．－3π2

B．－1π2

C．－3π

D．－1π

答案

C 解析

因为f′(x)＝－11πx2cos x＋x(－sin x)，所以f(π)＋f′2＝－123π＋π×(－1)＝－π. 2．(2018·衡水调研)设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为(

) A．e2

B．e

C.ln 22

D．ln 2 答案

B 解析

由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1. 根据题意知，ln x0＋1＝2，

所以ln x0＝1，即x0＝e. 3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(

) A．x－3y＋3＝0

B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0

D．3x－y＋1＝0 答案

C 解析

y′＝cos x＋ex，故切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0. 4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(

答案

C 解析

原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；

当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，

故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C. 5．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() )

3πA.4，π

π3πC.2，4

答案

A －4解析

求导可得y′＝x－x，

e＋e＋2ππB.4，2

π0，

D.4∵ex＋ex＋2≥2ex·ex＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立，

－－∴y′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，

3π又α∈[0，π)，∴≤α<π.

46．(2018·广州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(

) 11A．e

B．－e

C.

D．－

ee答案

C 1解析

y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，

x1设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，

x01切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，

x0因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，

1解得x0＝e，故此切线的斜率为. e7．(2018·鹰潭模拟)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为

．

答案

(－2,9) 解析

∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2,9)．

118．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．

42答案

2 1131解析

设切点坐标为(m，n)(m>0)，对y＝x2－3ln x求导得y′＝x－，可令切线的斜率为42x231m－＝－，解方程可得m＝2(舍去负值)．

m219．若曲线y＝ln x的一条切线是直线y＝x＋b，则实数b的值为

．

2答案

－1＋ln 2

1解析

由y＝ln x，可得y′＝，设切点坐标为(x0，y0)，由曲线y＝ln x的一条切线是直线yx111＝x＋b，可得＝，解得x0＝2，则切点坐标为(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋b，b＝－1＋ln 2. 2x0210．(2018·泰安模拟)若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝

. 答案

1 解析

依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，得b＝0.又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1. 11.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．

(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝

；

(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为

．(用“<”连接) 答案

(1)1

(2)h(0)

(1)由题图可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2，

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b＝x，

g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，

11故a＝，b＝0，d＝，e＝m＝0，

2311所以f(x)＝x2＋c，g(x)＝x3＋n，

231由f(1)＝1，得c＝，

211则f(x)＝x2＋，故f(－1)＝1. 2211(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋c－n，

235则有h(－1)＝＋c－n，h(0)＝c－n，

61h(1)＝＋c－n，故h(0)

6

12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

解

(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，

又f(2)＝－2，

∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，

即x－y－4＝0. 2(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x30－4x0＋5x0－4)，

∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x2(x－2)，

0－8x0＋5)·2又切线过点P(x0，x30－4x0＋5x0－4)，

32∴x0－4x20＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2)，

整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，

解得x0＝2或1，

∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为

x－y－4＝0或y＋2＝0.

13．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是(

) 11－∞，

B.，＋∞

A.ee1C.e，e

D．(e，＋∞) 答案

B 111解析

由题意知，方程f′(x)＝－有解，即ex－m＝－有解，即ex＝m－有解，故只要meee11－>0，即m>即可，故选B. ee14．已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值．

解

因为f′(x)＝ln x＋1，

所以曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，

则曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e. 由于切线与曲线y＝x2＋a相切，

故y＝x2＋a可联立y＝2x－e，

得x2－2x＋a＋e＝0，

所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e.

15．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x的“拐点”是M(x0，f(x0))，则点M(

) A．在直线y＝－5x上

B．在直线y＝5x上

C．在直线y＝－4x上

D．在直线y＝4x上

答案

B 解析

由题意，知f′(x)＝5＋4cos x＋sin x，

f″(x)＝－4sin x＋cos x，

由f″(x0)＝0，知4sin x0－cos x0＝0，

所以f(x0)＝5x0，

故点M(x0，f(x0))在直线y＝5x上．

316．已知函数f(x)＝x－. x(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

3解

(1)f′(x)＝1＋2，

x31＋2·设切点为(x0，y0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝x(x－x0)，

0∵切线过(0，－3)，

33x0－＝1＋2·∴－3－xx(－x0)，

001解得x0＝2，∴y0＝，

217∴所求切线方程为y－＝(x－2)，

247即y＝x－3. 431＋2(x－m)，

(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为y－n＝m33m－＝1＋2(x－m)，

即y－mm

6令x＝0，得y＝－，

m60，－，

从而切线与直线x＝0的交点为m令y＝x，得y＝x＝2m，

从而切线与直线y＝x的交点为(2m,2m)，

16－·∴点P(m，n)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2m|＝6，为定2m值．