3.1.2 导数的概念PPT及专用教学设计内容

《导数的概念》教学设计

教材分析：

微积分是牛顿和莱布尼茨在十七世纪中叶创立的，这是数学发展中的里程碑. 导数的概念是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等最一般、最有效的工具，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用. 《变化率与导数》是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义，本节课是第二课时.教材从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法来定义导数，符合学生认知水平. 学情分析

学生在上节课借助高台跳水和气球膨胀率问题学***均变化率，本节课继续以高台跳水问题为背景，进行从平均速度到瞬时速度、从瞬时速度到导数的学习，并为即将学习的导数的几何意义、导数的有关计算以及导数的应用等知识做铺垫. 三维目标

1.知识与技能：

（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；

（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；

2. 过程与方法

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法； 3. 情态与价值观

经历从生活中的瞬时速度问题抽象概括出瞬时变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。

教学重点.难点

重点：导数的概念；

难点：1、导数的概念；2、用导数的定义求函数在某点处的导数。

教法学法

教法分析：

这节课我主要通过让学生从实际问题出发，以问题为主线，遵循从特殊到一般、具体到抽象的数学思想，用已知探究未知的方法，从生活中的“跳水”入手，得出瞬时变化率，用“逼近”的思想来定义导数. 学法分析：

在学法指导上，学生通过观察、思考、小组讨论来体验逼近的思想，通过类比感悟导数的内涵. 教学准备：多媒体课件，8个计算器

教学设计：

一、

情景引入

1、在交通事故的处理中，交警有时需要知道事故车辆在碰撞时的瞬时速度，以便事故责任的划分，如果你是交警，你如何知道车辆的瞬时速度呢？

2、跳水教练想知道跳水运动员入水时的瞬时速度，以便有针对性地训练，如果你是教练，你怎样才能知道运动员入水时的瞬时速度呢？

现在我们就以高台跳水为例，探讨瞬时速度的确定。

【设计意图】以学生的生活环境中鲜活的事例导入，激发学生的探求欲望，提高学习的效率。

高台跳水：来源:Z+xx+k.Com]

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系ht4.9t6.5t10. 2650t计算运动员在 49这段时间里的平均速度，思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态符合实际吗？

为什么？

组织学生小组计算、讨论，交流结果，并由小组代表回答这两个问题

在学生得出正确结论后提出问题：如何求运动员在t2时刻的瞬时速度？

二、初步探索 t2时刻的瞬时速度

问题一：请大家思考如何求运动员在t2时刻的瞬时速度？

要求：小组讨论如何求出t2时的瞬时速度. 学生在上节课已经知道x这个符号的含义，在这里不难想到用t来表示时间的改变量，但此时如何给出科学合理的t的取值大家还存在疑问

问题二：

当t0.01、t0.001、t0.0001 、

t0.01、t0.001

t0.0001 时 vh2th2

的值是多少？

th2th2要求学生用计算器进行计算出v的值，并进行小组展示. t【设计意图】学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，学生利用计算器，分组完成问题二，有利于培养学生的动手操作能力同时激发他们的求知欲. 问题三：观察数据，当t趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

在各组计算出结果后，用幻灯片展示，并给出更多t趋于0时v的值. 引导学生观察数据并得出结论: 当趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1 从物理的角度看，当时间间隔t无限变小时，平均速度v就无限趋近于t2时的瞬时速度.因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s.[来源:Z,xx,k.Com]

为了表述方便，用符号limt0h2th213.1来表示.（告诉学生该符t

号的写法、读法、含义）

【设计意图】让学生第一次利用体会逼近的思想完成问题三. 三、深入探究:

t0时刻的瞬时速度

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度又如何表示呢？

小组讨论：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示，学生意识到将t0代替2，可类比得到 limt0ht0tht0

t【设计意图】第二次体会逼近的思想，并用特殊与一般的思想得到t0时刻的瞬时速度.这是学生思维的一次提升. 四、概念形成 [来源:学_科_网][来源:学科网ZXXK]

问题五：如果将跳水问题中的函数用瞬时变化率如何表示？

fx来表示，那么函数fx在xx0

处的fx在tt0时刻瞬时速度的共同特征，学生通过体会t2、不难概括出函数xx0

处的瞬时变化率的表示方法，给出导数的概念：

一般地，函数fx在xx0

处的瞬时变化率f(x0x)f(x0)ylim，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导x0xx0xlim''yfx数，记作：0

或|xx0，

'即fx0limx0f(x0x)f(x0)ylim

xx0x【设计意图】再次通过类比，抛开问题的实际意义，抽象为数学问题，来定义导数，这是学生思维的又一次上升. 反思与感悟：

(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x值有关，与Δx无关．

x0处及其附近的函数

(2)fx0是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与fx0xfx0无限接近．

x(3)

实质：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

17世纪，力学、航海、天文等方面取得突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为本章引言中提到的四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度：二是求已知曲线的切线

由导数的定义，我们知道，高度关于时间的导数就是运动员的瞬时速度：气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率。实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP）的增长率等等。

【设计意图】让学生初步感受导数的产生、特点及其意义

问题六：用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤是什么？

学生通过对导数的定义式的观察与分析，不难得到答案。

(1)求函数的增量yfxxfx

00(2)求平均变化率yfx0xfx0

xx(3)求极限y

limx0x即“一差、二比、三极限”．

【设计意图】培养学生观察，分析及归纳小结的能力。

五、典例精析

例1根据导数的定义求函数fxx2在x1处的导数

变式训练：

1、若函数fx在x0处可导，limxx0fx0fx的值为xx0



A.fx0C.fxB.fx0

D.fx【设计意图】加深学生对导数概念的理解

例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度单位:0c为fxx27x150x8计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

该例题中第2h时原油温度的瞬时变化率的求解过程用幻灯片演示，然后让学生在练习本上独立完成第6h时原油温度的瞬时变化率的解答过程，选一名学生板演.

【设计意图】导数概念的形成由一个实际问题开始，又将其应用于实际问题，前后呼应；同时让学生第三次体会逼近的思想.

六、练习巩固

小组PK赛:计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变换率，并说明它们的意义.

此环节8个小组进行比赛，比一比哪组最先完成.这样做，既能达到巩固了导数的概念的目的，又调动了学生的积极性. 七、课堂检测

1、函数fxx23x在x2处的导数是

2、设fxax4,若f12,则a等于(A.2B.2C.3)

D.不确定

【设计意图】检测学生对本节课的知识的掌握情况。

八、归纳总结

知识方面：瞬时变化率的求法及导数的概念．

思想方法：逼近的思想、特殊与一般的思想、类比的方法. 最后，由学生总结这节课所学的主要知识和方法，加深对导数概念的理解.

八、作业布置

必做：第79页习题3.1 A组第2、4 题

选做：思考第80页习题3.1 B组第1题

预习：3.1.3导数的几何意义

【设计意图】为了让不同层次的学生都有收获，我设计了必做题和选做题. 评价反思

这节课是数学概念的教学课.数学概念本身比较抽象，导数的概念就更为抽象.为了便于学生对导数概念的理解，我通过实例，设置环环相扣的问题，让学生体验“逼近”的思想，并运用类比的方法，引导学生分析和归纳，从而达到概念的自然形成，最后又将归纳出的数学概念应用到实际问题中，首尾呼应，这样做学生不会感到突兀，并且能进一步感受到数学来源于生活，又高于生活.