习题4.1ppt配套教案和课堂实录

课题：

圆的方程

课 型：

习题课

教学目标： 1.掌握圆的标准方程和一般方程。

2.会用待定系数法求三角形外接圆的标准方程和一般方程。

3．熟悉动点的轨迹问题的解决过程。3’’

.来源:学+科+网Z+X +教学重点：圆的标准方程和一般方程的应用。

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的方程。

教学过程：

(一)、出示图片：目的：让学生直观感受圆来源于生活，吸引学生的注意力，从而让学生轻松地进入本节课的学习与探究。

(二)、复习回顾：

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．若A为圆心，r为半径，则圆上任意一点M满足|MA|=r. 圆的标准方程：方程(x－a)＋(y－b)＝r(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．

圆的一般方程：

222

目的：温故而知新，清楚知识点能够更好地服务于本节课。

(三)、典题剖析

例题1．△ABC的三个顶点坐标分别为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程．

222(xa)(yb)r解法一：设所求圆的方程是．

因为A、B、C三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，

则有(5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r222(2a)(8b)ra2b32r25，

，解方程组得22(x2)(y3)25．

所以△ABC的外接圆的方程为

22xyDxEyF0．

解法二：设所求圆的方程是因为A、B、C三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，

52125DEF0D4227(3)7D3EF0E622F122(8)2D8EF0则有，解方程组得，

22xy4x6y120.

所以△ABC的外接圆的方程为解法三：∵AB的中点坐标为(6，－1)，kAB2，∴线段AB的垂直平分线方程为y11(x6)2．

77(,)2，kAC3，∴线段AC的垂直平分线方程为∵AC的中点坐标为2y717(x)232．

1y1(x6)2y71(x7)232圆心坐标满足方程组,3，)半径，解得圆心O坐标(2r|OA|(52)2(13)25，

22(x2)(y3)25.

所以△ABC的外接圆的方程为操作过程：先让学生独立思考，后叫学生一一回答，再叫其他学生补充，纠正，最后老师点评。

目的：让学生能够积极参与课堂，生生互动，师生互动，进而活跃课堂气氛，更好地完成教学任务。

【小结】

解法一、解法二都是应用待定系数法，设出圆的标准方程和一般方程，然后代入点的坐标得到三个独立的方程，通过解方程组得待定系数的值；待定系数法是求已知方程形式的曲线方程的常规解法；

解法三是利用数形结合的思想，根据圆中弦的垂直平分线必过圆心的性质，求出圆心，进而算出半径．

特别地，直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，半径为斜边长的一半．

例题2. 已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是（

）

A．x2＋y2＝1

B．x2＋y2＝2

C．x2＋y2＝2

D．x2＋y2＝4

【解法提示】

解法一：AB的中点即圆心，|AB|的一半为半径，易得答案C．

解法二：设圆上任意一点P(x，y)，由PA⊥PB得圆方程为(x-1)(x+1)+(y+1)(y－1)=0，

整理得到答案C．

例题3．动点P到点A(8，0)的距离是到点B(2，0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（

）

A．x2＋y2＝32

B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16

D．x2＋(y－1)2＝16 【解析】设P(x，y)，则由题意可得：(x-8)2+y2=2(x-2)2+y2，

化简整理得x2＋y2＝16，故选B．

例题4．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则P点的轨迹方程为_______________ xy解析

设P(x，y)，N(x0，y0)，则OP的中点坐标为(,)，

22x3y04,)，

MN的中点坐标为(022x03xx0x322因为平行四边形的对角线互相平分，所以：，即，

yy4y4y00222222又N在圆x+y=4上运动，则有(x+3)＋(y－4)＝4．

9122128∵点P不在直线OM上，∴所求轨迹上应除去两点(,)和(,).5555

. M

P

y

操作过程：先让学生独立思考，后叫学生一一回答，再叫其他学生补充，纠正，最后老师点

N

O

x

评。

目的：让学生能够积极参与课堂，生生互动，师生互动，进而活跃课堂气氛，更好地完成教学任务。

【小结】

本题的解法是解析几何中求动点轨迹的重要方法，相关点法（代入法）．其一般步骤为：设出动点坐标和与其相关的点的坐标；根据题意找到两点间的等量关系，并把相关点坐标用动点坐标表示；代入相关点所在的直线（曲线）方程，整理得所求直线（曲线）方程．最后下结论前，要注意检验所求曲线上的点有没有不符合题意的点．

技巧传播

求圆方程时，主要用待定系数法，如果由已知条件易求得圆心坐标和半径，或解题过程用到圆心和半径，常选用标准方程；如果已知条件与圆心半径无直接关系，常选用一般方程．若条件中涉及圆的一些性质，也可直接利用性质求圆心和半径，而不用待定系数法．

作业：习题4.1A组2，3，4，5