3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计第一课时

《直线的倾斜角与斜率》教案

一、课题

3.1.1倾斜角与斜率

二、教学目标

1、知识与技能

①

理解倾斜角与斜率的概念

②

掌握求直线斜率的两种方法

③

了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素

2、过程与方法

以平面直角坐标系为载体，从斜率和倾斜角两个角度刻画直线相对于x轴的倾斜程度，增强学生运用数形结合思想解决问题的意识。

3、情感态度与价值观

适当引导，让学生参与到直线的斜率公式的推导过程中，培养学生独立思考，自主探究合作交流的意识。数形结合解决问题，使学生体会几何与代数的统一，培养学生树立辩证统一的观点，感受数学的魅力，从而激发学生学习数学的兴趣。

三、课型

新授课

四、课时

第一课时

五、教学重难点

重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线的斜率公式

难点：倾斜角和斜率的对应关系，过两点的直线的斜率公式的推导过程

六、教学过程

1、引入新课

师：在平面直角坐标系中，点可以用坐标表示，那么直线呢？

生：可以

师：那应该怎样表示呢？

生：......

师：让我们带着问题一起今天的学习：倾斜角与斜率

（设计意图：通过提问，引发学生思考，进入新课学习）

2、新课学习

师：请同学们思考一下，对于平面直角坐标系中的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？

生：...... 师：我们已经知道两点可以确定一条直线，那么一点能确定一条直线的位置吗？

生：...... 师：在平面直角坐标系中，已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？

生：...... 师：如图所示，过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3......这些直线的区别在哪里呢？

生：它们的倾斜程度不同

师：非常好，那么老师想问一下同学们如何表示一条直线的倾斜程度呢？

生：...... 师：为了描述直线的倾斜程度，我们引进倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

师：下图所标的直线的倾斜角对不对？为什么？

师：直线

l的倾斜角能不能是0？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能不能大于平角？

生：......

师：如图所示，直线l的倾斜角α为锐角，l'的倾斜角α'为钝角，当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此直线的倾斜角α的取值范围为0≦α≦180°

例1、如图所示直线l的倾斜角是多少度？

师：现在我想请问同学们在平面直角坐标系中，已知直线l的倾斜角，能否确定一条直

线的位置？

生：不能。

师：为什么呢？

生：已知直线l的倾斜角，可以画无数条直线。

师：非常好，如图所示，已知直线l的倾斜角，我们可以画无数条直线，并且它们是平行的。

师：这样一来，平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，并且倾斜程度和倾斜角是一一对应的，因此我们可以用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

师：前面我们已经得出在平面直角坐标系中，已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置，同样，已知直线的倾斜角α，也不能确定一条直线的位置。但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以惟一确定这条直线。因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。

（设计意图：层层追问，逐步探索，最后得出在平面直角坐标系中确定一条直线的位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，并通过具体例子的练习对倾斜角的概率进行巩固，加深记忆。）

师：日常生活中还有哪些表示倾斜程度的量？

生：倾斜面

师：非常好，图示是我们日常生活中的倾斜面抽象出来的图形，那么我们应该如何表示它的倾斜程度呢？

生：...... 师：日常生活中我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度（倾斜程度）”即：坡度（比）=升高量/前进量，在引进了倾斜角的概念后，这里的坡度（比）实际上就是“倾斜角α的正切”。以后我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tanα。

师：如果一条直线的倾斜角为45°那么这条直线的斜率是多少？

生：1 师：那么如果一条直线的倾斜角为90°呢？

生：...... 师：由于90°的正切不存在，所以倾斜角是90°的直线没有斜率。

例2、已知一条直线与x轴平行，则这条直线的斜率k值是（

）

A.0

B.3

C.1

D.不存在

例3、已知直线l在第一象限过点（1，1），其倾斜角是30°，作出这条直线。

（设计意图：从生活中的具体实例出发，引出斜率的概念，通过具体例子的探究得出倾斜角与斜率之间的对应关系，以具体例子为载体进行探究，避免空洞抽象，突破难点）

师：下面我们一起来探究一下如何由直线上的两点的坐标计算直线斜率。给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），（x1≠x2），如何求直线P1P2的斜率？

生：...... 师：设直线P1P2的倾斜角为α（α≠90°），则有下图所示的种情况。

师：我们一起来讨论当直线P1P2的方向向上（即从P1指向P2）时的情况。

①

当直线P1P2的方向向上（即从P1指向P2）时：

a：当α为锐角时，如图所示α=QP1P2，x1

tantanQP1P2QP2P1Qy2y1.

x2x1b:当α为钝角时，如图所示，α=180°-θ（设QP1P2=θ），x1>x2，y1>y2. tantan(180)tan.

在RtP1P2Q中，tanQP2QP1y2y1，于是可得

x2x1y2y1x2x1

tank即

y2y1x2x1

师：请同学们思考一下当直线P1P2与x轴平行时或者重合时，上述式子还成立吗？

生：成立

师：那么当直线P1P2与y轴平行时或者重合时呢？

生：不成立，因为此时x1=x2，公式中分母为0。

师：也就是说我们运用这个公式求直线的斜率的前提条件是x1x2。

师：非常好，下面请同学们自己计算当直线P1P2的方向向下（即从P2指向P1）时该直线的斜率。

②

当直线P1P2的方向向下（即从P2指向P1）时：

a：当α为锐角时，如图所示α=QP1P2，x1>x2，y1>y2，在RtP1P2Q中，

tantanQP2P1QP1P2Qy1y2y2y1.

x1x2x2x1b:当α为钝角时，如图所示，α=180°-θ（设QP2P1=θ），x1

在RtP1P2Q中，tanQP2QP1y2y1，于是可得

x2x1y2y1x2x1

tank即

y2y1x2x1

师：于是我们得到经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），（x1≠x2）的直线的斜率公式

ky2y1x2x1

师：在已知两点的坐标，运用上述公式计算斜率时，与两点的坐标顺序有关吗？

生：没有。

（设计意图：数形结合，分类讨论，先带着学生一起讨论一种情况，然后让学生自己证明另一种情况，数形结合将抽象的东西具体化，降低难度，突破难点。留给学生自己思考的空间，培养学生独立思考，自主探究合作交流以及运用数形结合思想解决问题的意识。）

师：非常好，下面我们来做几道练习题。

3、例题练习

例4、如图所示，已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

例5、（1）已知过A（3，1），B（m，-2）直线的斜率为1，则m的值为多少？

（2）若三点A（2，-3），B（4，3），C（5，k）在同一条直线上，则实数k的值为多少？

分析：当直线AB、AC 、BC的斜率存在时，A、B、C三点共线

kABkACkABkBC。

（设计意图：基础练习，对斜率公式以及斜率与倾斜角关系的运用，对新知识进行巩固。）

例6、已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求分析：y的最大值与最小值。

xyy0，它表示直线上的动点与原点连线的斜率。

xx0解：做出对应图像如下：

当x2时，y2284，即A2，4，

当x3时，y238，即B3，2，

y4的最大值为kOA2, x24最小值为kOB2. 2则（设计意图：提升训练，通过代数式的等价变形，再数形结合，直观地解决问题，降低难度，一方面对新知识进行巩固，另一方面增强学生数形结合解决问题的意识）

七、课堂小结

1、直线l的倾斜角的概念

一个前提：直线与x轴相交；

一个基准：取x轴作为基准；

两个方向：x轴正向与直线l向上方向。

2、倾斜角的范围

当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，直线倾斜角α的取值范围为0≦α≦180°。

3、斜率的定义

倾斜角不是90的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tanα。

4、过两点的直线的斜率公式

经过两点两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），（x1≠x2）的直线的斜率公式k式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换顺序。

5、斜率与倾斜角的对应关系

图示

y2y1，公x2x1

倾斜角

斜率

α=0°

k=0 0°<α<90°

k>0

α=90°

不存在

90°<α<180°

k<0

（设计意图：对本节课所学的内容进行梳理，达到巩固的目的）