3.2.2 直线的两点式方程教学设计方案

3.2.2直线的两点式方程

授课教师：潘冬 授课时间：2018年5月31日上午第三节

授课地点：综合楼四楼多媒体教室

【教材分析】本节课是高中数学人教A版必修2第三章第二节第二课时的内容，直线的两点式方程体现了“两点确定一条直线”这一朴素的数学概念；研究直线两点式方程的目的不是说这种形式比较简单或好用，而是两点式方程起着承上启下的作用，它保持了知识的完整性和系统性，在思想与方法层面上，对学生发现问题解决问题的能力的培养上有好处；两点式方程的表达式对称工整，结构优美，如果设它等于一个参数，马上就可以得到直线的参数方程，为将来选修模块4-5中的直线的参数方程做铺垫，这是其它直线方程不能代替的. 【学情分析】上节课学生已经学习过直线的点斜式方程和斜截式方程，两点式方程和截距式方程难度不太大，学生应该比较容易接受，可以多放手让学生自己去摸索和探究.但由于部分学生观察、迁移、化归、计算等方面能力薄弱，可能在两点式方程的推导、综合性应用等问题上会有一定的困难. 【教学目标】

知识与技能：（1）掌握直线方程两点式的特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的特点及适用范围. 过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知. 情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）培养学生用联系的观点看待问题. 【教学重点】直线两点式方程. 【教学难点】两点式推导过程的理解. 【教法】本节课主要采用“讨论法”、“分析法”、“归纳法”相结合进行教学，同时还利用多媒体进行辅助，增强动感和直观性，在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念. 【学法】通过本节课的教学，不仅要让学生学会知识，更重要的是，让学生在探究过程中，逐步掌握自主获得知识的学习方法. 【教学用具】多媒体辅助教学，三角板. 【课时安排】直线方程共三课时，本节为第二课时. 教学过程：

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一.复习引入: 1. 直线的点斜式方程：yy0k(xx0)（k为斜率，P（x0,y0）为经过直线的点）；

2．直线的斜截式方程：ykxb（k为斜率，b为截距）. 二.问题探究：

问题：已知直线经过P,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程. 1(1方案1：解：设直线方程为ykxb

由已知可得 3kb42kbk1b2

解方程组可得：

所以直线方程为yx2. 方案2：解：

由斜率公式得到斜率k431

21再由直线的点斜式方程y31(x1)

化简可得:yx2

三.新课讲授：

1.直线两点式方程的推导: 已知两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，如何求出通过这两个点的直线方程呢？

分析：由方案2的思路可知：先求直线的斜率，再用点斜式方程可以得到直线的两点式方程. 解：当x1x2时，所求直线的斜率ky2y1

x2x1y2y1(xx1)

x2x1又因为直线过点p1,由点斜式方程，得yy1当y1y2时，可写为2.两点式方程的适应范围：

yy1xx1

y2y1x2x1问题：是不是已知任意两点都能用两点式写出直线方程呢？

不是! 当x1x2或y1y2时,直线没有两点式方程. (因为当x1x2或y1y2时,两点式的分母为零,没有意义) 3.若点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)中有x1x2或y1y2,此时过这两点的直线方程是什么呢? 当x1x2

时方程为：xx1

当y1y2时方程为：yy1

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问题：那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢? 两点式不能表示与坐标轴平行或与坐标轴重合的直线．

4.直线的截距式方程：

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,求直线

l的方程．

解: 将两点A(a,0)，B(0,b)的坐标代入两点式, 得: y0xa，

b00a所以直线l的方程为：方程xy1ab

xy1叫做直线的截距式方程. ab直线与x轴的交点A(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距. 直线与y轴的交点B(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距. 问题：是不是任意一条直线都有其截距式方程呢? 不是

（1）不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线；

（2）截距可为正数,负数和零. 四.直线方程的应用: 中点坐标公式

若P1,P2的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)且中点M的坐标为M(x,y)，则：

x1x22yy2

y12{x例1:已知三角形的三个顶点是A(5,0)，B(3,3)，C(0,2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程.

解：过B(3,3),C(0,2)两点式方程为：

32C1A–5–4–3–2–1O–1–2–3Bxy12M345y2x0

3230第

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整理得：5x3y60，

这就是BC边所在直线的方程. BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段. 由中点坐标公式可得中点M的坐标为：M(3,1) 22过A(5,0),M(3,1)的直线方程: 22y0x5

130522整理得：x13y50, 这就是BC边上中线所在的直线的方程. 例2:过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 解: 两条. 因为两个坐标轴上的截距相等，可设为a(a0)

直线的方程为: xy1

aa把(1,2)代入得：121

aa解得：a3

所以直线方程为：x+y-3=0 还有一条y2x

(与x轴和y轴的截距都为0) 五.课堂练习：

1.求过下列两点的直线的两点式方程：

（1）A(2,1),B(0,3), (2)A(0,5),B(5,0)

解：（1）y1x2y5x0 （2）

310205502.根据下列条件求直线的方程

（1）在x轴上的截距是2，在轴y上的截距是3；

（2）在x轴上的截距是-5，在y轴上的截距是6. 解：（1）xyxy1 （2）1

23563. 根据下列条件求直线的方程：

（1）过点(0,5)且在两坐标轴上的截距之和为2；

（2）过点(5,0)且在两坐标轴上的截距之差为2. 解：（1）由题意可设x轴上的截距为a,y轴上的截距为b. 所以截距式方程为：

xy1，

ab因为直线过点（0，5），

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所以，051 （1）

ab又因为两坐标轴上的截距之和为2，

所以，ab2 （2）

所以，a3,b5. 所以，所求直线方程为：xy1. 35(2) 由题意可设x轴上的截距为a,y轴上的截距为b, 所以截距式方程: xy1

ab因为直线过点(5，0）, 所以，50ab1 （1）

又因为两坐标轴上的截距之差为2，

所以，ab2或ba2 （2）

a5,b3，或a5,b7

所以，所求直线方程为：xy1或53xy1

57六．课堂小结： （1）直线的两点式方程: x1yy1xx1, y2y1x2x1x2,y1y2

xy1, ab（2）直线的截距式方程a0,b0

七．课后作业：

课本习题3.2A组第4题、第9题.B组

导

学

案

3.2.2直线的两点式方程

一．复习引入：

1. 直线的点斜式方程：_________________________（k为斜率，P（x0,y0）为经过直线的点）

2直线的斜截式方程：__________________________（k为斜率，b为截距）

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二．问题探究：

问题：已知直线经过P,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程。

1(1

三．新课讲授：

1.直线两点式方程的推导：

已知两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，求过这两点的直线方程。

2.

两点式方程的适应范围：

问题：已知任意两点的坐标都能用两点式写出直线方程吗？

3．直线的截距式方程：

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,求直线

l的方程．

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问题：是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?

四.直线方程的应用：

中点坐标公式: 若P1,P2的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)且中点M的坐标为M(x,y)，则：

{xx1x22y1y2y2

例1:已知三角形的三个顶点是A(5,0)，B(3,3)，C(0,2)，求BC边所在的直线方程，以及该边中线的直线方程.

y

3

2C

1A–5–4–3–2–1O–112345Mx

–2

–3B

例2过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?

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五.课堂练习：

1.求过下列两点的直线的两点式方程：

（1）A(2,1),B(0,3), (2)A(0,5),B(5,0)

2.根据下列条件求直线的方程

（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；

（2）在x轴上的截距是-5，在轴y上的截距是6；

3. 根据下列条件求直线的方程：

（1）过点(0,5)且在两坐标轴上的截距之和为2；

（2）过点(5,0)且在两坐标轴上的截距之差为2；

六．课堂小结：

（1）直线的两点式方程_____________________________________; 适应范围__________________________________________________. 第

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（2）直线的截距式方程____________________________________；

适应范围_________________________________________________. 七．课后作业：

习题3.2A组第4题、第9题.B组第1题.

3.2.2直线的两点式方程课堂检测

1.求过下列两点的直线的两点式方程：

（1）A(2,1),B(0,3), (2)A(0,5),B(5,0)

2.根据下列条件求直线的方程

（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；

（2）在x轴上的截距是-5，在轴y上的截距是6；

3. 根据下列条件求直线的方程：

（1）过点(0,5)且在两坐标轴上的截距之和为2；

（2）过点(5,0)且在两坐标轴上的截距之差为2；

3.2.2直线的两点式方程课后习题

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一.选择题：

1.过(x1,y1)和(x2,y2)两点式方程是（

）

A. yy2xx1yy1xx1

B.

y2y1x2x1y2y1x2x1C.(x2x1)(xx1)(y2y1)(yy1)0

D. (y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)0

2.直线l过点A(2，2)，且与直线xy40和x轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有（

）

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4条

3.点(a,b)关于直线xy0对称的点是（

）

A. (a,b)

B(a,b)

C.(b,a)

D.(b,a)

4.直线3x2y4的截距式方程为（

）

A. xy3xy3xyxy1

1

B. 1

C. 1

D. 41124242332二.填空题：

1.若平行四边形三个顶点的坐标分别为（1,0），（5,8），（7，-4），则第四个顶点的坐标为________________. 2.由一条直线与两坐标轴围成一个直角三角形，则该三角形内切圆的半径为_____________,外接圆的半径为_______________. 三.解答题：

1.求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.

2.已知直线l的方程为2x+y+3=0,求它关于点A(1,2)对称的直线方程.

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