2.2.2 椭圆的几何性质优秀教案设计

椭圆中的定点与定值问题

【教学目标】

1.

在解决椭圆定值定点问题的过程中，体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式；

2.

综合、灵活地使用对称、共线以及变量之间的关系，掌握等价转化、数形结合等思想方法.

有关“定值、定点”问题是解析几何题中常见的一种题型，在近几年的高考或模拟试题中频繁出现，这类题体现了动与静的辩证统一，是数学美很好的例证，所以受到一些命题专家的青睐.但这类问题涉及方程与曲线问题，方程组与不等式求解问题，向量问题等，从分考查方程(组)、转化化归、数形结合等数学思想，且变量较多，运算量大，学生常常运算不下去，导致失败.下面就通过一些考题的求解分析，感受一下这类问题的解题策略和方法.

【基础训练】

x2y21的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N1.

已知椭圆164两点，直线MN过x轴上的一定点，该定点为___________．

【反思】填空题中涉及定点定值问题的，往往采用特殊位置带入求解，猜测得到答案，在解答题中也经常采用先猜后证的方法，但要注重严格的计算证明．

x2y21上一点A(2,1)，若M,N是椭圆上关于原点对称的两个点，当直线2.

椭圆C:82AM、AN的斜率都存在时，kAMkAN=_____________.

．

x2y23.

设椭圆221(ab0)的左、右顶点分别为A,B，点P在椭圆上且异于A,B两ab点，O为坐标原点，若直线AP与BP的斜率之积为1，则椭圆的离心率为__________. 2

3x2y21上有一点P(1,)，点M,N是椭圆C上的两个动点，当直线4.

已知椭圆C:243PM的斜率与直线PN的斜率互为相反数时，直线MN的斜率为__________.

【例题讲解】

x2y21，例1

已知椭圆C:设M是椭圆C上异于长轴端点的任意一点，试问在x轴84上是否存在两个定点A,B，使得直线MA,MB的斜率之积为定值？

图1 y O x

x2y21上的任意一点，且异于左右顶点A,B，直线例2

如图2，设点P是椭圆E:4PA,PB分别交直线l:x10于点M,N．

3（1）求证：PNBM；

（2）若连结MB并延长交椭圆E与点Q，试证：PQ过x轴上的一个定点.

图2

例3.见学案P149 例3

【课外练习】

x2y21. 已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A,B两点，且线段AB的中点在ab直线x2y0上，则该椭圆的离心率为________.

x2y21的左右顶点为A,B，2. 椭圆动点M满足MBAB，连结AM交椭圆于点P，42在x轴上有异于A,B的一个定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为__________. x2y21的左、右顶点为A、B，右焦3. 在平面直角坐标系xoy中，如图3，已知椭圆95点为F，设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y10,y20

．

（1）设动点P满足

PFPB4,求点P的轨迹；

（2）设x12,x222y 1，求点T的坐标；

3A O F B x （3）设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

【方法提炼】

图3 1.

椭圆定点定值问题的两类基本形式：①椭圆中满足一定条件的两点连结所得的直线经过定点，②椭圆中与满足一定条件的两点有关的几何量为定值，两者往往可以互相转化；

在椭圆综合问题中，某些几何量与参数无关，构成了定点定值问题的基础，解决此类问题的方法一般是：①计算推理求其结果，②考查极端或特殊位置，探索出定点定值后予